Ax=0是肯定有解的，由於總存在x為全零向量。使得方程組成立。而Ax=b是不一定有解的。我們須要高斯消元來確定。我們還是利用上一篇講述了Ax=0的解的矩陣A來舉例說明：
我們能夠得到上述方程組的增廣矩陣(等式右側不是全零向量，消元時值會改變，所以須要用增廣矩陣)例如以下：
然后我們進行高斯消元能夠得到：
從上面的矩陣能夠看出。等式成立必須有：
我們如果一個滿足上面條件的b向量，比如：b=[1 5 1+5];而且令兩個自由變量x2=0,x4=0，則我們將消元后的矩陣寫成方程組的形式例如以下：
得到的解為：
Xc是這個方程組的一個特解。由於當X2,X4取不同的值時。會得到不同的特解。
那么我們如何得到方程的同解呢？即如何用一般形式來表示全部的特解？
求解Ax=b的過程：
1、求解特解Xc
2、求解Ax=0的解Xn
Ax=b的解就是特解Xc+Xn。證明例如以下：
Xc我們上面已經得到，Xn在上一篇文章中得到。則通解能夠表示為：
至此。我們就得到了Ax=b的解。
通過上面的分析求解，我們知道當b滿足下式時。方程組有解：
實際上，方程有解的條件是向量b屬於矩陣A的列空間。即向量b能夠表示為矩陣A的各列的線性組合。
比如上面的樣例：
方程的解就是矩陣A中各列前面的系數。
以下推廣到更一般的情況，我們以矩陣A的不同情況來看解的結構(如果矩陣A為m*n的矩陣,秩為r)：
1、r=n<m，即列滿秩(全部列都有主元)
因為全部列都有主元，則自由變量的個數為0。矩陣A的零空間中僅僅有零向量。Ax=b的解的個數為0個或者1個.
舉例說明：
當b=[4 3 6 7]時，Ax=b的唯一解為x=[1 1]。
2、r=m<n，即行滿秩(全部行都有主元)
因為全部行都有主元，消元后不會出現全為0的行，則Ax=b有無窮多解。
且自由變量的個數為n-r，矩陣A的零空間中不僅僅有零向量。
比如：
3、r=m=n。即列、行都滿秩(矩陣可逆)
因為列、行都滿秩，則具有列滿秩，行滿秩的一些性質：零空間僅僅有零向量，方程總有解且解唯一。
4、r<m，r<n，非滿秩矩陣
Ax=b有無窮多解或則沒有解。
從上面的四種情況的討論。我們能夠總結例如以下：
假設想看一個線性方程組的解的情況，我們能夠通過高斯消元法得到矩陣A的最簡形式R，R的可能情況例如以下：
這四種情況分別相應的解的情況為：
1、唯一解或無解
2、無窮多解
3、唯一解
4、無解或無窮多解
原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/40921003
作者：nineheadedbird