這里的消元法，主要是針對矩陣$A$可逆的情況下(如果$A$不可逆消元后不好回代)，即線性方程組只有唯一解的情況下，有多解的情況的解法在后面介紹。
目前我們用於解線性方程組的方法依然是Gauss消元法。在Gauss消元法中，我們將右側向量b與A寫在一起作為一個增廣矩陣進行同步的操作，這就默認了對A與b的操作數是相等的且每換一個b就要重復一遍對A的操作。然而，在實際情況中，右側向量b經常發生變化，因此對於不同的b，又得重復的對A進行操作，增加了復雜度。雖然，選擇同步操作更為方便直觀。但是，當b變化時，如果我們將對A和對b的操作進行分隔的話，只需對A完成一次完整的消元操作，再對b進行回代操作。這樣可以大大減少操作的次數。所以，在b變化時，我們先對A單獨進行分解操作。(這段話轉自https://www.cnblogs.com/samaritan-z/p/8353323.html)
其中的一種分解方法是LU分解。這種方法的優勢在於分解結果中L（上三角矩陣）和U（下三角矩陣）都是三角形矩陣，后續運算比較簡便。而且二者恰好相配，使用計算機進行運算時可以存儲在一個數組中，節約存儲空間。利用A的LU分解解線性方程組的過程為將Ax=b等價變形成（LU）x=b，根據結合律有L(Ux)=b，再解Ly=b中的y，最后解Ux=y得到線性方程組的解。
