高數中的線性相關,線性無關,內積,點乘,投影的概念

1.線性相關,線性無關

在線性代數里，矢量空間的一組元素中，若沒有矢量可用有限個其他矢量的線性組合所表示，則稱為線性無關或線性獨立 (linearly independent)，反之稱為線性相關(linearly dependent)。

定義:

在向量空間V的一組向量A:   ，如果存在不全為零的數 k1, k2, ···,km , 使

則稱向量組A是線性相關的  ，否則數 k1, k2, ···,km全為0時，稱它是線性無關。

由此定義看出   是否線性相關，就看是否存在一組不全為零的數 k1, k2, ···,km使得上式成立。

即是看  這個齊次線性方程組是否存在非零解，將其系數矩陣化為最簡形矩陣，即可求解。

此外，當這個齊次線性方程組的系數矩陣是一個方陣時，這個系數矩陣存在行列式為0，即有非零解，從而  線性相關。

 如 : 

有三個數a，b，c
如果存在不全為0的三個數m，n，k
使得ma+nb+kc=0
就說a，b，c線性相關 否則若只有當m=n=k=0時成立，則它們線性無關
其實a，b，c代表的東西很多，不一定就是數字，也可以是向量啊，等等
數量也不一定是三個，在這只是舉個例子，也可以是無限多個

 

 2.內積,點乘(點積)

在數學中，數量積（dot product; scalar product，也稱為點積）是接受在實數R上的兩個向量並返回一個實數值標量的二元運算。它是歐幾里得空間的標准內積。

兩個向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的點積定義為：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩陣乘法並把（縱列）向量當作n×1 矩陣，點積還可以寫為：

a·b=a*b^T，這里的a^T指示矩陣a的轉秩。

 

廣義定義

在一個向量空間V中，定義在   上的正定對稱雙線性形式函數即是V的數量積，而添加有一個數量積的向量空間即是內積空間。

代數定義

設二維空間內有兩個向量   和   ，定義它們的數量積（又叫內積、點積）為以下實數：

 

 

更一般地，n維向量的內積定義如下：

 

幾何定義

設二維空間內有兩個向量   和   ，   和   表示向量a和b的大小，它們的夾角為   ，則內積定義為以下實數：

 該定義只對二維和三維空間有效。

這個運算可以簡單地理解為：

在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這里，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然后通過除以它們的標量長度來“標准化”。

這樣，這個分數一定是小於等於1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

 

 3.投影

在線性代數和泛函分析中，投影是從向量空間映射到自身的一種線性變換，是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。

同現實中陽光將事物投影到地面上一樣，投影變換將整個向量空間映射到它的其中一個子空間，並且在這個子空間中是恆等變換。

如果向量空間被賦予了內積，那么就可以定義正交和其它相關的概念(比如線性算子的自伴隨性)了。

在內積空間（賦予了內積的向量空間）中，有正交投影的概念。具體來說，正交投影是指像空間U和零空間W相互正交子空間的投影。

 定義 :  

 投影的嚴格定義是：一個從向量空間V射到它自身的線性變換 P是投影，當且僅當。

另外一個定義則較為直觀： P是投影，當且僅當存在V的一個子空間W，使得 P將所有V中的元素都映射到W中，而且 P在W上是恆等變換。

用數學的語言描述，就是：  ，使得   ，並且   。  

 

 文章引自 : 《百度百科》