線性相關與線性無關

5.1.3線性相關與線性無關

定義1
設 $V$是數域 $F$上的線性空間， $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V$,如果 $F$中存在 $n$個不全為零的數 $k_1,k_2,\cdots,k_n$使得 $\sum_{i=1}^n k_i\alpha_i=\theta$則稱
$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$線性相關，否則稱 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$線性無關.
線性無關亦可等價敘述為：
如果對 $F$中 $n$個數 $k_1,k_2,\cdots,k_n$當 $\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i=\theta$時，必可推出 $k_i=0(i=1,2,\cdots,n)$
或者說，
只要 $k_1,k_2,\cdots,k_n$不全為0，則 $\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$必不為 $\theta$.
定義2
設 $V$是數域 $F$上的線性空間，對向量 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in V$,數 $k_1,k_2,\cdots,k_n\in F$,則稱 $\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的一個線性組合.如果向量 $\beta$能夠寫成 $\sum\limits_{i=1}^nk_i\alpha_i$,則稱 $\beta$可以由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$線性表出.或者說 $\beta$是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的線性組合.
定義3
設 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$與 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$是線性空間 $V$中兩組向量，如果每個 $\alpha_i(i=1,2,\cdots,n)$都可以由向量組 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$線性表出，我們就稱向量組 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由向量組 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$線性表出.若兩個向量組可以互相線性表出，就稱這兩個向量組等價.

定理1
設 $V$是一個線性空間， $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n(n \ge 2)$是 $V$中向量，則 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$線性相關的充分必要條件是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$中必有一個向量 $\alpha_i$可由其余的 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\cdots,\alpha_n$線性表出.
定理2
設 $V$是一個線性空間， $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$是 $V$中的向量，若 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$線性無關，而 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta$線性相關，則 $\beta$可由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$線性表出，且表示法唯一.
定理3
設 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$與 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$是線性空間 $V$中的兩組向量，若 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m$線性表出，且 $n>m$，則 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$線性相關. $\Downarrow$
推論：
如果 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$可由 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$線性表出，且 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$線性無關，則 $m\ge n$.