矩陣是一個數表，里面的元素有很多種理解方式，現在我們將矩陣理解為由行向量或列向量組成的一個向量組。
則矩陣的秩就是：行向量組或者列向量組中極大線性無關組所含向量的個數，或者說秩是列(行)向量空間的最低維度。
所以我們拿到一組向量，通過構造矩陣求秩，就可以知道這些向量所在空間的最低維度。怎么理解呢？
線性空間是我們用來容納向量的集合，比如水平面就是一個線性空間，平面上的所有向量都是該空間內的元素，而水平面內的向量其實
又全包含在三維空間內，所以三維空間也可以構成一個線性空間，來容納水平面上的所有向量，一組向量所處的線性空間維度是沒有上
限的，但有下限，這個下限就是這個向量組的秩，比如平面上的所有向量秩為 $2$，那最少得用一個平面來容納它們，總不能用直線來
容納吧。
總之：秩就是容納這些向量的最小向量空間的維數。
設有若干個向量，它們能找到一個維數為 $n$ 的空間容納，且無法再找到更低維度的空間，那么它們的線性組合必然也能被這個空間容納。
這是由線性空間的封閉性決定的。
注：如果不了解什么是向量空間的維數和向量維數，可先閱讀博客。
進一步理解：以 $AB=C$ 為例
$$\begin{bmatrix}
\alpha_{1} & \alpha_{2} & ... & \alpha_{n}
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & ... & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & ... & b_{2n} \\
... & ... & ... & ... \\
b_{n1} & b_{n2} & ... & b_{nn}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
\beta_{1} & \beta_{2} & ... & \beta_{n}
\end{bmatrix}$$
矩陣 $C$ 的列向量組可以由矩陣 $A$ 的列向量組線性表出，輸出向量組所在向量空間的最低維度必然不會超過矩陣 $A$ 的秩。
輸出的向量可能就被壓縮到低維度的空間，即降秩(取決於變換的矩陣)。
理解了上述內容，可以得到一個定理：
$$r(AB) \leq min(r(A),r(B))$$
1）將 $A$ 看成變換矩陣，按列分塊，矩陣 $B$ 即為輸入向量的坐標，則輸出矩陣列向量都可以由 $A$ 列向量組表示，故 $r(AB) \leq r(A)$。
2）將 $B$ 看成變換矩陣，按行分塊，矩陣 $A$ 即為輸入向量的坐標，則輸出矩陣行向量都可以由 $B$ 行向量組表示，故 $r(AB) \leq r(B)$。