平面幾何相關定理

前言

初中的平面幾何相關定理，在高中數學中使用的頻度還是比較高的。所以別以為三選一變成了二選一，就不需要復習回顧平面幾何相關定理了，相反如果熟悉這些內容，反倒對莘莘學子是非常有裨益的。

五大公設

歐幾里德的《幾何原本》提到的共設，其實就是我們后邊所說的公理。

• 公設1：任意一點到另外任意一點可以畫直線。

• 公設2：一條有限線段可以繼續延長。

• 公設3：以任意點為心及任意的距離可以畫圓。

• 公設4：凡直角都彼此相等。

• 公設5：同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於二直角的和，則這二直線經無限延長后在這一側相交。

相關定理

• 1、角平分線性質定理

①.角平分線可以得到兩個相等的角。

②.角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

③.三角形的三條角平分線交於一點，稱作三角形內心。三角形的內心到三角形三邊的距離相等。

④.三角形一個角的平分線，這個角平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。

• [內角平分線定理，別稱：內分比定理，斯霍騰定理]三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例。

已知：如圖所示，\(AD\)是\(\Delta ABC\)的內角\(A\)的角平分線，交\(BC\)於點\(D\)。

求證：\(\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{BD}{DC}\)

證明：過點\(C\)作直線\(CE//AB\)，並且交\(AD\)的延長線於點\(E\)，

則可知\(\Delta ADB\sim \Delta EDC\)，且有\(\cfrac{AB}{EC}=\cfrac{BD}{CD}①\)；

又由\(AB//CE\)可知，\(\angle 1=\angle 3\)，

又已知\(\angle 1=\angle 2\)，故\(\angle 2=\angle 3\)，

即\(CE=AC\)，代入①式可得\(\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{BD}{DC}\)。

• 2、全等三角形

判定定理：

①SSS（Side-Side-Side）（邊邊邊）：三邊對應相等的三角形是全等三角形。

②SAS（Side-Angle-Side）（邊角邊）：兩邊及其夾角對應相等的三角形是全等三角形。

③ASA（Angle-Side-Angle）（角邊角）：兩角及其夾邊對應相等的三角形全等。

④AAS（Angle-Angle-Side）（角角邊）：兩角及其一角的對邊對應相等的三角形全等。

下列兩種方法不能驗證為全等三角形：

AAA（Angle-Angle-Angle）（角角角）：三角相等，不能證全等，但能證相似三角形。

SSA（Side-Side-Angle）（邊邊角）：其中一角相等，且非夾角的兩邊相等。

性質定理：對應邊相等，對應角相等；

• 3、相似三角形

相似三角形：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。（similar triangles）。互為相似形的三角形叫做相似三角形。

相似三角形的判定方法：根據相似圖形的特征來判斷。[對應邊成比例，對應角相等]

①.平行於三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似這是相似三角形判定的引理，是以下判定方法證明的基礎。這個引理的證明方法需要平行線分線段成比例定理的證明\(\quad\)；

②.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似；

③.如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,並且相應的夾角相等,那么這兩個三角形相似；

④.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似；

• 絕對相似三角形[相似形包含全等形]

1.兩個全等的三角形一定相似。

2.兩個等腰直角三角形一定相似。

3.兩個等邊三角形一定相似。

• 直角三角形相似判定定理

1.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，並且分成的兩個直角三角形也相似。

求證：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，並且分成的兩個直角三角形也相似。

證明：由於\(\angle DBA=\angle CAD\)，\(\angle BAD=\angle ACD\)，故\(\triangle BAD\sim \triangle ACD\)①，

由於\(\angle DBA=\angle DBA\)，\(\angle BAD=\angle ACD\)，故\(\triangle BAC\sim \triangle BDA\)②，

由於\(\angle CDA=\angle CDA\)，\(\angle CAD=\angle DBA\)，，故\(\triangle CAD\sim \triangle CBA\)③，

故由①能得到\(\cfrac{BA}{AC}=\cfrac{AD}{CD}=\cfrac{BD}{AD}\)；即\(AD^2=BD\cdot DC\)；

由②能得到\(\cfrac{BA}{BD}=\cfrac{AC}{DA}=\cfrac{BC}{BA}\)；即\(AB^2=BD\cdot BC\)；

由③能得到\(\cfrac{CA}{CB}=\cfrac{AD}{BA}=\cfrac{CD}{CA}\)；即\(AC^2=CD\cdot CB\)；

• 三角形相似的判定定理的推論

推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。

推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。

推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。

• 相似三角形的性質

1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等於相似比。

2.相似三角形周長的比等於相似比。

3.相似三角形面積的比等於相似比的平方。

• 相似三角形的特例

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。（congruent triangles）

全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：形狀完全相同，相似比是\(k=1\)。

全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。

因此，相似三角形包括全等三角形。

• 4、平行線分線段成比例定理[平行截割定理]

等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在任一條(與這組平行相交的)直線上截得的線段也相等.

平行截割定理【線束定理】：兩條直線與一組平行線相交,它們被這組平行線截得的對應線段成比例.

如圖所示，三條直線\(l_1//l_2//l_3\)，三條平行線與直線\(m\)分別相交於點\(A\)、\(B\)、\(C\)，與直線\(n\)分別相交於點\(D\)、\(E\)、\(F\)，連結\(AE\)、\(BD\)、\(BF\)、\(CE\)，

根據平行線性質[等高]可得[利用等面積法]，\(S_{\triangle ABE}=S_{\triangle DBE}\)，\(S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BEF}\)，

\(\cfrac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DBE}}=\cfrac{S_{\triangle BEC}}{S_{\triangle BEF}}\)，即\(\cfrac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle BEC}}=\cfrac{S_{\triangle DBE}}{S_{\triangle BEF}}\)，

根據等高三角形[\(\triangle ABE\)和\(\triangle BCE\)從頂點\(E\)所作的高線相同]的面積比等於底邊的比，可得

\[\cfrac{AB}{BC}=\cfrac{DE}{EF} \]

由更比性質、等比性質可得，\(\cfrac{AB}{DE}=\cfrac{BC}{EF}=\cfrac{AB+BC}{DE+EF}=\cfrac{AC}{DF}\).

定理推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形的對應邊成比例.

• 5、直角三角形射影定理，又稱“歐幾里德定理”，

直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

證明：由於\(\angle DBA=\angle CAD\)，\(\angle BAD=\angle ACD\)，故\(\triangle BAD\sim \triangle ACD\)①，

由於\(\angle DBA=\angle DBA\)，\(\angle BAD=\angle ACD\)，故\(\triangle BAC\sim \triangle BDA\)②，

由於\(\angle CDA=\angle CDA\)，\(\angle CAD=\angle DBA\)，，故\(\triangle CAD\sim \triangle CBA\)③，

故由①能得到\(\cfrac{BA}{AC}=\cfrac{AD}{CD}=\cfrac{BD}{AD}\)；即\(AD^2=BD\cdot DC\)；

由②能得到\(\cfrac{BA}{BD}=\cfrac{AC}{DA}=\cfrac{BC}{BA}\)；即\(AB^2=BD\cdot BC\)；

由③能得到\(\cfrac{CA}{CB}=\cfrac{AD}{BA}=\cfrac{CD}{CA}\)；即\(AC^2=CD\cdot CB\)；

• 6、圓周角定理

圓周角的度數等於它所對弧上的圓心角度數的一半\(\angle AOB=2\angle ACB\)，利用三角形的外角定理即可證明，由\(OB=OC\)，可得\(\angle OBC=\angle OCB\)\(\quad\)。

圓心角定理：圓心角的度數等於它所對的弧的度數；

定理推論:

①.一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半；

②.圓周角的度數等於它所對的弧度數的一半；

③.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。

④.半圓(直徑)所對的圓周角是直角。

⑤.\(90^{\circ}\)的圓周角所對的弦是直徑。

注意：在圓中，同一條弦所對的圓周角有無數個。

• 7、圓的切線判定定理和性質定理

判定定理：過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線。

性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑。

• 8、相交弦定理

圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條弦，各弦被這點所分成的兩段的積相等）

證明：如圖所示，\(\angle DBA=\angle DCA\)，\(\angle BAC=\angle BDC\)，[同弧所對的圓周角相等]

故\(\triangle BED\sim \triangle CEA\)，

故有\(\cfrac{BE}{CE}=\cfrac{ED}{EA}\)，即\(AE\cdot BE=CE\cdot DE\)，

特殊化，當兩條相交弦互相垂直，且其中一條弦\(DC\)特殊化為直徑\(DC\)時，由垂徑定理垂直於弦\(AB\)的直徑\(DC\)平分弦\(AB\)，且平分這條弦所對的兩條弧，即\(\overset{\frown}{AC}\)\(=\)\(\overset{\frown}{BC}\)，\(\overset{\frown}{AD}\)\(=\)\(\overset{\frown}{BD}\)。\(\quad\)可知，\(DC\perp AB\)，且\(AE=BE\)，此時相交弦定理變形為\(BE^2=DE\cdot CE\)，此時也就和直角三角形射影定理建立了關聯。

• 9、圓內接四邊形的判定定理與性質定理

判定定理：如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓證明思路1： 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓。
思路2：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓。
思路3：反證法；\(\quad\)；

圓內接四邊形的判定定理證明：

已知：四邊形\(ABCD\)，\(\angle A+\angle C=180^{\circ}\)，

求證：\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點共圓；

證明：用反證法，由於點\(A\)，\(B\)，\(C\)三點不共線，故由這三個點能唯一的確定一個圓，記為\(\odot O\)，則此時點\(D\)的位置有三種：點\(D\)在\(\odot O\)外，點\(D\)在\(\odot O\)內，點\(D\)在\(\odot O\)上，

①當點\(D\)在\(\odot O\)外，如下圖所示，記\(CD\)與\(\odot O\)相交於點\(E\)，

則由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(E\)四點共圓可知，\(\angle B+\angle CEA=180^{\circ}\)，

又由已知\(\angle A+\angle C=180^{\circ}\)，可得\(\angle B+\angle D=180^{\circ}\)，

則可知， \(\angle D=\angle CEA\)，

這與三角形的外角定理三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和。由此可得：三角形的外角大於任何一個與它不相鄰的內角。\(\quad\)矛盾，故點\(D\)不在\(\odot O\)外；

②點\(D\)在\(\odot O\)內，如下圖所示，記\(AD\)與\(\odot O\)相交於點\(E\)，

則由\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(E\)四點共圓可知，\(\angle B+\angle CEA=180^{\circ}\)，

又由已知\(\angle A+\angle C=180^{\circ}\)，可得\(\angle B+\angle D=180^{\circ}\)，

則可知， \(\angle D=\angle CEA\)，

這與三角形的外角定理矛盾，故點\(D\)不在\(\odot O\)內；

綜上所示，只能是點\(D\)在\(\odot O\)上，故\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)四點共圓；

判定定理的推論：

如果四邊形的一個外角等於它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓；

性質定理：

①圓內接四邊形內角互補；

②圓內接四邊形的外角等於它的內角的對角。

• 10、 弦切角定理

與圓相切的直線，同圓內與圓相交的弦相交所形成的夾角叫做弦切角。如圖中\(\angle ABD\);

弦切角的度數等於它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等於它所夾的弧所對的圓周角度數。 即\(\angle ABD=\angle BCD\)

證明：\(\angle ABD+\angle OBD=90^{\circ}\)，\(\angle BOD=2\angle BCD\)，

又由於\(CD\)為直徑，故\(\angle CBD=90^{\circ}\)，又由於\(OB=OD\)，則\(\angle OBD=\angle ODB\)

則\(\angle BCD+\angle OBD=90^{\circ}\)，

又由於\(AB\)為\(\odot O\)的切線，故\(\angle ABO=90^{\circ}\)

而\(\angle ABO=\angle ABD+\angle OBD=90^{\circ}\)，

故\(\angle ABD=\angle BCD\)；

• 11、切割線定理

切割線定理：是指從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

一般用於求直線段長度。也是圓冪定理圓冪定理是一個總結性的定理，是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論的統一與歸納。\(\quad\)之一。

即：\(AB^2=AD\cdot AC\)；

證明：由於\(\angle A=\angle A\)，\(\angle ABD=\angle BCA\)；

故\(\triangle ABD\sim \triangle ACB\)，故\(\cfrac{AB}{AC}=\cfrac{AD}{AB}\)，

整理得到，\(AB^2=AD\cdot AC\)；

切割線定理推論[也叫割線定理]:從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

• 12、三角形外角定理

外角定理:三角形的一個外角等於不相鄰的兩個內角和。

三角形內角和定理:三角形的三個內角和為180度。

多邊形的外角和定理:多邊形的外角和都等於360度。

拓展:在三角形中，已知其中兩個角的度數，根據三角形內角和定理，則能求出第三個角的度數。

三角形的外角平分線定理:三角形的外角平分線外分對邊所成的兩條線段和相鄰兩邊對應成比例。

• 13、三角形重心坐標公式

三角形\(\triangle ABC\)的重心\(M\)的坐標公式：若三角形的三個頂點坐標分別為\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，\(C(x_3，y_3)\)，則其重心\(M(x_0，y_0)\)滿足\(x_0=\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\)，\(y_0=\cfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\)。

三角形重心的性質的證明：

已知\(\triangle ABC\)的重心為\(G\)，\(D\)，\(E\)分別為邊\(AC\)，\(BC\)的中點，求證：\(DG=\cfrac{1}{2}BG\)；

證明：連結\(DE\)，則可知\(DE\)為三角形的邊\(AB\)的中位線，則有\(DE//AB\)，且\(DE=\cfrac{1}{2}AB\)，

則可知\(\triangle DEG\sim \triangle BAG\)，則有\(\cfrac{DG}{BG}=\cfrac{DE}{BA}=\cfrac{1}{2}\)，

即\(DG=\cfrac{1}{2}BG\)；同理可證，\(EG=\cfrac{1}{2}AG\)；

• 14、定比分點坐標公式

公式內容：在平面直角坐標系中，已知兩點\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，在兩點的連線上有一點\(P\)，設其坐標為\(P(x，y)\)，且\(\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=\lambda\)，那么我們說點\(P\)分有向線段\(AB\)的比為\(\lambda\)，則定比分點\(P\)的坐標滿足

\(x=\cfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}\)，\(y=\cfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\)，

並將上式稱為定比分點坐標公式。

公式的應用之一：三角形重心坐標公式推導

若三角形的三個頂點坐標分別為\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，\(C(x_3，y_3)\)，則其重心\(M(x_0，y_0)\)滿足\(x_0=\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\)，\(y_0=\cfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\)，

證明：如圖所示，重心\(G\)在以\(BC\)為底邊的中線\(AE\)上，則點\(E\)的橫坐標\(x_E=\cfrac{1}{2}(x_2+x_3)\)，點\(E\)的縱坐標\(y_E=\cfrac{1}{2}(y_2+y_3)\)，且有\(EG=\cfrac{1}{2}AG\)，\(EG=\cfrac{1}{3}AE\)，

為使用定比分點坐標公式，梳理如下：

已知線段\(AE\)，且有\(A(x_1，y_1)\)，\(E(\cfrac{x_2+x_3}{2}，\cfrac{y_2+y_3}{2})\)，定比為\(\lambda=\cfrac{AG}{GE}=2\)，

則定比分點\(G\)即三角形的重心\(G(x_0，y_0)\)的坐標為：

\(x_0=\cfrac{x_1+\lambda x_E}{1+\lambda}=\cfrac{x_1+2\times \cfrac{x_2+x_3}{2}}{1+2}=\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3}\)，

\(y_0=\cfrac{y_1+\lambda y_E}{1+\lambda}=\cfrac{y_1+2\times \cfrac{y_2+y_3}{2}}{1+2}=\cfrac{y_1+y_2+y_3}{3}\)；證畢。

典例剖析