以下收集暑假期間遇到的平面幾何題，以及解法的一些提示。給未來的自己復習參考用。
多圖片預警（請注意流量）
目錄：
Part 0：雜題(9)
Part 1：等腰三角形中斯特瓦爾特定理的應用(8)
Part 2：梅涅勞斯定理(3)
Part 0：雜題
1、如圖，銳角三角形ABC中，AD垂直於BC。在線段AD上任取一點E，連接BE並延長交AC於F，連接CE並延長交AB於G。
求證：DA平分∠GDF
證法一：建坐標系，代數法（略）。
證法二：三角函數暴力推（略）。
證法三：關鍵詞：賽瓦定理。輔助線如下：
2、剛剛在 matrix67 的博客上翻閱到一題：http://www.matrix67.com/blog/archives/442
任意給定一個三角形ABC。令M為BC上的中點，令H為BC上的垂足。角A的平分線與BC交於點D。過B、C分別向角平分線AD作垂線，垂足分別為P、Q。
證明H、P、M、Q四點共圓。
博主的證法朴實又簡潔明了。
評論區中 Pegasus 提到了一個出類拔萃的做法，盡管不那么簡潔，但十分有趣自然奇妙，忍不住來分享一下：
作△ABC外接圓交AD延長線於X，∵AD是角平分線，∴MX⊥BC
根據相交弦定理，AD·DX=BD·DC
兩邊同時乘以cos∠ADB的平方，得到PD·DQ=HD·DM。於是PHQM四點公圓。
3、
from 中等數學 2011-07 一道 IMO 幾何題的另解
閱讀了原題解（中等數學 2009-09 第 50 屆 IMO 試題解答 ）和這篇“另解”，發現它們都采用了高深的三角函數。
於是這里來展示一下幾何方法（由於偷懶就寫簡要過程了）：
顯然O,K,C共線。連結OC，連結DK。作D關於OC的對稱點。
∠OD'K=∠OEK，所以D'和E點重合，或O,K,D',E四點公圓。
① D'和E點重合，則BE⊥AC，易得 ∠BAC=60°
② O,K,D',E四點公圓。∵∠OD'E=90°，∴∠OKE=90°。
∴∠OEK=∠EOK=45°
因為K在∠DAC的角平分線上，易得AO=AE。∠AOE=∠AEO，∠BAD+∠ABE=∠ACB+∠EBC。
所以 ∠BAC=90°
綜上，∠BAC=60° 或 90°
4、
關鍵詞：R乘到左邊，面積法
5、
關鍵詞：構造平均長度。
6、
關鍵詞：對稱
7、
關鍵詞：先猜后證。
結論：四邊形AO1O2P是等腰梯形，AO1=PO2
方法一：PS=PT於是PM1=PM2（《中等數學 · 2011年第8期 · 構造對稱結競賽題》中的證法）
方法二：圖中兩個三角形全等。
8、
四邊形ABCD中，已知∠DAB=110°，∠ABC=50°，∠BCD=70°，
M,N分別是AB,CD的中點，線段MN上的點P滿足AM:CN=MP:NP。
當AP=CP時，求∠APC的大小。
from 第20屆JMO預賽(2010年)第11題
關鍵詞：找點P與四邊形的某種關系。
9、
關鍵詞：相似，唯一性證明較困難
10、
$AB^2+DC^2=BC^2$，$A,B,C,D$四點共圓。
$E$在$BC$上，$\ang AEB=\ang DEC$，$BD$交$AE$於$G$，$AC$交$DE$於$F$，$AC$交$BD$於$H$。
求證：$HE$平分$AD$。
from USAMO 2019年 第2題
關鍵詞：共圓
Part 1：等腰三角形中斯特瓦爾特定理的應用。（from 中等數學 2011.7）
斯特瓦爾特定理原型：https://baike.baidu.com/item/%E6%96%AF%E7%89%B9%E7%93%A6%E5%B0%94%E7%89%B9%E5%AE%9A%E7%90%86
特殊情形：等腰三角形 ABC 中 AB=AC，則 AB2－AD2 =BD·DC
1、
關鍵詞：圓冪定理
2、
關鍵詞：無
3、
關鍵詞：兩個外心，定差冪線定理（平方的差相等即垂直）
4、
關鍵詞：牛頓定理（相似證四線共點），定差冪線。
5、
最關鍵的一步，有兩條線是垂直的？！
關鍵詞：圓的冪（本質還是斯特瓦爾特），定差冪線定理
6、
關鍵詞：完全四邊形的密克爾點（四圓共點）
7、
方法一（朴素、基礎方法）：調和點列，梅涅勞斯定理。
方法二（模仿上一題做法）：密克爾點。
8、
關鍵詞：梅涅勞斯定理。
Part 2：梅涅勞斯定理。（from 《奧賽經典 幾何》第一章）
1、
三角形ABC，以底邊BC為直徑作半圓，與AB、AC交於D、E，分別過D、E作BC垂線，垂足依次是F、G，線段DG和EF交於點M。
求證：AM垂直於BC。
2、
三角形ABC內有一點P，作PR⊥PB交AC於R，PQ⊥PA交BC於Q，PS⊥PC交AB於S。
證明：Q、R、S共線。
關鍵詞：邊化角
3、
圓外切四邊形ABCD，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的切點，I為AB、CD的交點，J為BC、AD的交點。
求證：①AC、BD、EG、FH共點；②EF、GH、AC、IJ平行或共點；③IJ、EH、BD、FG平行或共點
關鍵詞：梅涅勞斯定理經典題；邊的置換
4、
I、H分別為銳角三角形ABC的內心和垂心，點B1、C1分別為AC、AB的重點。
已知射線B1I交邊AB於B2（B2≠B），射線C1I交AC延長線於C2，B2C2與BC交於K，A1為△BHC的外心。
試證：A，I1，A1共線的充要條件是：S△BKB2=S△CKC2
5、
一個非等腰三角形，三個頂點為A[0],A[1],A[2]，內心為 B，
過B做與邊A[i]A[i+1]和A[i]A[i+2]相切的圓O[i]（下標對3取模，下同），
圓O[i+1]與圓O[i+2]的除了B以外的另一個交點為C[i]。
設三角形 A[i] B C[i] 的外心為D[i]
求證：D[0],D[1],D[2]共線。
關鍵詞：添中垂線；外接圓與內心的關系。