幾何代數59 ----平面二次曲線的分類
學習李建平教授空間解析幾何的分享筆記。
平面二次曲線方程
回顧：通過平面直角坐標變換，可化簡平面二次曲線方程， 從而快速判定曲線的圖形 .
問題1：平面二次曲線的圖形有哪幾種 ？
問題2：什么是平面二次曲線在坐標變換下的不變量？ 如何根據不變量來判定曲線的圖形 ？
1、消去二次交叉項 ——利用線性代數知識
回顧：
作適當的轉軸變換可以消去平面二次曲線方程中的二次交叉項
平面二次曲線方程：
\(G(x,y) = \mathbf{x }^TA \mathbf{x },\mathbf{x }= \binom{x}{y},\color{blue}{A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix}}\)\(, \mathbf{b }=\binom{2a_1}{2a_2},c=a_0\)
\(F(x,y)=\mathbf{x }^TA \mathbf{x }+\mathbf{b }^T \mathbf{x }+c\)
消去二次交叉項:
\(\Large\color{orange}{轉軸變換：}\) \(\begin{cases} x= x' cos\theta -y'sin \theta \\ y= x' sin\theta +y'cos\theta \end{cases}\), \(\Rightarrow\) \(\bbox[pink]{\binom{x}{y}=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix}\binom{x'}{y'} }\)
\(\Large\color{orange}{轉軸矩陣：}\)\(R =\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix} ,\) \(\large\mathbf{x }'=\binom{x'}{y'}\)
\(𝒙 = 𝑅𝒙′\)
【注】
- （1）轉軸矩陣是正交矩陣，且行列式為1 .
- (2)$RR^T =I $ .
- (3) $R^{-1} = R^T $.
\(𝐺(𝑥′, 𝑦′)= 𝒙^𝑇𝐴𝒙 = (𝑹𝒙′)^𝑇𝐴𝑅𝒙′ = 𝒙′^𝑇𝑹^𝑇𝐴𝑅𝒙′ = 𝒙′^T𝐴′𝑥′\)
\(\large其中 𝐴′ = 𝑅^T𝐴𝑅 是對稱矩陣\) .
要使 $𝐺 (𝑥′, 𝑦′ )= 𝒙′^T𝐴′𝑥′ $不含二次交叉項 ，只要 $𝐴′ $為對角矩陣 .
設 \(𝑅 = (𝜼_1, 𝜼_2)\) ， 由於 𝑅 是正交矩陣, \(𝑅^{−1} = 𝑅^T\)， 且 \(𝜼_1, 𝜼_2\ne 0\) , 有
\(A (𝜼_1, 𝜼_2) = (𝜼_1, 𝜼_2) \color{blue}{\begin{bmatrix} a_{11}'& 0\\ 0& a_{22}'\end{bmatrix}}\)\(\Rightarrow \begin{cases} A𝜼_1= a_{11}'𝜼_1\\ A𝜼_2= a_{22}'𝜼_2 \end{cases}\) , $\bbox[yellow ,2pt]{共性 𝐴𝜼 = 𝜆𝜼 } $
回顧：
矩陣的特征值與特征向量
1．對於n階方陣A，如果存在數 \(\lambda\) 和 $n $維非零向量 \(\eta\) ,使得
則稱\(\lambda\)為矩陣A的特征值，\(\eta\)為矩陣A對應特征值\(\lambda\) 的特征向量．
2.特征值是特征方程 \(|\lambda I -A|=0\) 的根.稱n次多項式 \(f(A)=|\lambda I -A|\)為特征多項式.
3.特征向量是齊次線性方程組 \((\lambda I -A)x =0\) 的$\large\color{orange}{非零解} $．
4.稱\(n\)階方陣\(A\)的主對角線上所有元素之和為\(A\)的跡，記作 \(tr(A)\) .
5.\(\large\color{orange}{矩陣跡的性質: }\)對於n階方陣\(A ,B\)，有
6.$\large\color{orange}{特征值的性質:} $
$(1)\lambda_1+\lambda_2+…＋ \lambda_n = tr(A).\qquad (2) \lambda_1\lambda_2…\lambda_n = |A|. $
7.若A為實對稱矩陣，則其特征值 \(\lambda\) 為實數，特征向量 \(\eta\) 為實向量.
$\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 1} }} $設 \(A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix}\)是 2 階實對稱矩陣 ，則A有兩個相等或不等的實特征值，並且
- (1)A有兩個相等的實特征值當且僅當 \(a_{11}= a_{22}\) ,且 $a_{12}=0 $
- (2)當 $a_{11}\ne a_{22} $，或 $a_{12}\ne0 $時，A有兩個不等的實特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\) 它們對應的特征向量 \(β_1,β_2\) \(\Large\color{red}{相互正交}\).
【定理1的證明】𝐴 的特征方程為 \(\begin{vmatrix} \lambda -a_{11}& -a_{12}\\ -a_{21}& \lambda - a_{22} \end{vmatrix}=0\) ,即
$𝜆^2 − (𝑎_{11} + 𝑎_{22}) 𝜆 + (𝑎_{11}𝑎_{22}− 𝑎_{12}𝑎_{21} )= 0 . $
因 $Δ = (𝑎_{11} + 𝑎_{22})^2 -4 (𝑎_{11}𝑎_{22}− 𝑎_{12}𝑎_{21} )=(𝑎_{11} - 𝑎_{22})^2 +4𝑎_{12}^2 \geq 0 $
所以A有兩個相等或不等的實特征值，並且
(1)A有兩個相等的實特征值當且僅當 $a_{11}= a_{22} $,且 \(a_{12}=0\) 。
(2)當 $a_{11}\ne a_{22} $，或 $a_{12}\ne0 $時，A有兩個不等的實特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\) 。
又 \(𝐴𝜷_1 = 𝜆_1𝜷_1，𝐴𝜷_2 = 𝜆_2𝜷_2\) , 則
\(𝜷_2^T𝐴𝜷_1 = 𝜆_1𝜷_2^T𝜷_1，𝜷_1^T𝐴𝜷_2 = 𝜆_2𝜷_1^T𝜷_2\), 故\((𝜆_1-𝜆_2)𝜷_1^T𝜷_2 =0\), 即 \(𝜷_1^T𝜷_2 =0\).
\(\large\color{orange}{當平面二次曲線方程的二次交叉項系數a_{12}\ne0 時:}\)
A有兩個不等的實特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\), 它們對應的特征向量 \(β_1,β_2\)互正交.
令 $\eta _1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|} ,\eta _2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|} $ , 再設 $R=(\eta _1,\eta _2) $，則 $𝑅 $是正交矩陣 .
$\large\color{orange}{適當選取 𝜷_𝟏,𝜷_𝟐 ，使 |𝑅| = 𝟏 , 則 𝑅 為轉軸變換矩陣 .} $
令 $x = Rx' $，則二次項部分
$𝐺 (𝑥′, 𝑦′) = 𝜆_1𝑥'^2 + 𝜆_2𝑦'^2 $
二次曲線 方程中 的一次項和常數項的變化
令 $x = Rx' $，則有
$F(x', y') = \mathbf{x }^TA\mathbf{x }+b^T\mathbf{x } +c = \mathbf{x }'^T R^TAR\mathbf{x }'+b^ TR\mathbf{x }'+ c. $
- 常數項不變
- 一次項的變化
\(b^ TR\mathbf{x }' = b^T(𝜼_1, 𝜼_2) \binom{x'}{y'}=b^T𝜼_1x'+b^T𝜼_2y'=2a_1'x'+2a_2'y'\)
\(\large其中a_1'=\frac{1}{2}b^T𝜼_1,a_2'=\frac{1}{2}b^T𝜼_2\)
\(\Rightarrow F (𝑥′, 𝑦′) = 𝜆_1𝑥'^2 + 𝜆_2𝑦'^2+2a_1'x'+2a_2'y'+a_0\)
例1
用轉軸化簡方程 $C:5x^2-6xy + 5y^2-6\sqrt{2} x ＋2\sqrt{2}y -4= 0. $
【解】 因 \({A=\begin{bmatrix} 5& -3\\ -3& 5\end{bmatrix}}\) ,則其特征方程為 \(\begin{vmatrix} \lambda-5& -3\\ -3& \lambda-5\end{vmatrix}=0\) 即
$ \large𝜆^2 − 10 𝜆 + 16 = 0 , 特征值為 𝜆_1 = 2 , 𝜆_2 = 8 . $
對於特征值為 \(𝜆_1 = 2\)方程組\(\begin{cases} −3𝑥 + 3𝑦 = 0\\ 3𝑥 − 3𝑦 = 0 \end{cases}\) ,的一個非零解為 \(\beta_1=(1,1)^T\)
對於特征值為 \(𝜆_1 =8\)方程組\(\begin{cases} 3𝑥 + 3𝑦 = 0\\ 3𝑥 + 3𝑦 = 0 \end{cases}\),的一個非零解為 \(\beta_2=(-1,1)^T\)
\(\eta _1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T ,\eta _2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)^T .\)
令 \(R=(\eta _1,\eta _2)=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\) ,則 \(|R|=1\) . 故轉軸變換為\(x = Rx'\)
\(a_1'=\frac{1}{2}b^T𝜼_1= (-3\sqrt{2},\sqrt{2})𝜼_1=-2\ \ \ ,a_2'=\frac{1}{2}b^T𝜼_2= (-3\sqrt{2},\sqrt{2})𝜼_2=4\) $\large故 𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2𝑥′^2 + 8𝑦′^2 − 4𝑥′ + 8𝑦′ − 4 = 0 . $
2、平面二次曲線的分類
平面二次曲線方程
經過合適的轉軸變換后消去二次交叉項，得到
\(F (𝑥′, 𝑦′) = 𝜆_1𝑥'^2 + 𝜆_2𝑦'^2+2a_1'x'+2a_2'y'+a_0;\)
其中 \(\lambda_1 = a'_{11} , \lambda_2 = a'_{22}\) . \(\large\color{red}{再做移軸變換進一步化簡 .}\)
\(F (𝑥′, 𝑦′) = a'_{11}𝑥'^2 +a'_{22} 𝑦'^2+2a_1'x'+2a_2'y'+a_0\)
\(\large當 a'_{11}與 a'_{22}全不為0時：\)
配方得 \(a'_{11}(x'+\frac{a_1'}{ a'_{11}})^2 + a'_{22}(y'+\frac{a_2'}{ a'_{22}})^2+a_0-\frac{a_1'^2}{ a'_{11}}-\frac{a_2'^2}{ a'_{22}}=0\),
再移軸\(\begin{cases} x''= x' +\frac{a_1'}{ a'_{11}} \\ y''= y' +\frac{a_2'}{ a'_{22}} \end{cases}\),得 \(\large\bbox[cyan ,2pt]{F (𝑥'', 𝑦'') =a'_{11}x''^2+a'_{22}y''^2+a_0'=0}\),
\(\large其中a_0'=a_0-(\frac{a_1'^2}{ a'_{11}}+\frac{a_2'^2}{ a'_{22}})\) .
\(\Large\color{violet}{情形1：a'_{11} 與 a'_{22}同號.}\)
(1)當 \(a'_0與a'_{11}\)異號時，得 \(\large\frac{x''^2}{a^2}+\frac{y''^2}{b^2}=1\) ---------橢圓
(2)當 \(a'_0與a'_{11}\)同號時，得 \(\large \frac{x''^2}{a^2}+\frac{y''^2}{b^2}=-1\) -------虛橢圓
(3）當 $a'_0=0 $時，得 \(\large\frac{x''^2}{a^2}+\frac{y''^2}{b^2}=0\)-----------一對虛相交線
\(\Large\color{violet}{情形2：a'_{11} 與 a'_{22}異號.}\)
(1)當 \(a'_0與a'_{11}\) 異號時，得 \(\large\frac{x''^2}{a^2}-\frac{y''^2}{b^2}=1\) ---------雙曲線
當\(a'_0與a'_{11}\)同號時，得 \(\large-\frac{x''^2}{a^2}+\frac{y''^2}{b^2}=1\)-------雙曲線
(2）當 \(a'_0=0\) 時，得 \(\large\frac{x''^2}{a^2}-\frac{y''^2}{b^2}=0\) -----------相交直線
\(\Large\color{violet}{情形3：a'_{11} 與 a'_{22}恰好一個為0.}\)
約定\(A\)的特征值為 \(\lambda_1= 0,\lambda_2≠0\)，則 \(a'_{11} = 0 ,a'_{22}≠0\)，得
\(F (𝑥′, 𝑦′) = a'_{22} 𝑦'^2+2a_1'x'+2a_2'y'+a_0\) ,配方得
\(a'_{22}(y'+\frac{a_2'}{ a'_{22}})^2+2𝑎_1′ 𝑥′ +a_0-\frac{a_2'^2}{ a'_{22}}=0 .\)
（1）當$𝑎_1′≠ 0 $ 時，移軸 \(\begin{cases} x''= x' +\frac{a_0a'_{22}-a_2'^2}{2a'_{1} a'_{22}} \\ y''= y' +\frac{a_2' }{ a'_{22}} \end{cases}\) 得 \(𝑎′_{22}𝑦′′^2 + 2𝑎_1′ 𝑥′′ = 0 .\) ------拋物線
（2）當$𝑎_1′= 0 $ 時，移軸 \(\begin{cases} x''= x' \\ y''= y' +\frac{a_2' }{ a'_{22}} \end{cases}\)得 \(𝑎'_{22}𝑦′′^2 + a_0' = 0 .\) \(\bbox[cyan ,2pt]{a_0' =a_0-\frac{𝑎'^2_{2}}{𝑎'_{22}} }\)
(2.1)當 \(\large a_0' 與𝑎′_{22}\)同號時，方程無軌跡，或表示一對虛平行線.
(2.2)當\(\large a_0' 與𝑎′_{22}\)異號時，方程表示一對平行線．
(2.3)當\(a_0' =0\)時，方程表示一對重合直線（x 軸).
小結：平面二次曲線的種類（恰好3類9種）
第Ⅰ類 橢圓
（1）橢圓：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
（2）虛橢圓： \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1\)
（3）一對虛相交線： \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\)
第Ⅱ類 雙曲線
（4）雙曲線： \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
（5）相交直線：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0\)
第Ⅲ類 拋物線
（6）拋物線 \(𝑦^2 = 𝑐𝑥.\)
（7）一對平行線： \(𝑦^2 = 𝑐^2.\)
（8）一對虛平行線： \(𝑦^2 = −𝑐^2.\)
（9）一對重合直線： \(𝑦^2 = 0 .\)
橢圓、雙曲線與拋物線這3類曲線統稱為圓錐曲線 .
例2
化簡方程 $C:x^2 + 2xy + y^2-8\sqrt{2}x +4= 0 $，並作出其圖形.
【解】 因 \({A=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 1\end{bmatrix}}\),則其特征方程為 \(\begin{vmatrix} \lambda -1& -1\\ -1& \lambda -1 \end{vmatrix}= 0\),
即 \(\lambda^2-2\lambda=0\) ，特征值為 \(𝜆_1 = 0 , 𝜆_2 = 2 .\)
對於特征值為 $ 𝜆_1 = 0$方程組 \(\begin{cases} −𝑥 −𝑦 = 0\\ −𝑥 −𝑦 = 0 \end{cases}\),的一個非零解為 $\beta_1=(1,-1)^T $
對於特征值為 \(𝜆_2 = 2\) 方程組 \(\begin{cases} 𝑥 -𝑦 = 0\\ -𝑥 +𝑦 = 0 \end{cases}\) ,的一個非零解為 \(\beta_2=(1,1)^T\)
$\eta _1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^T ,\eta _2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T $ .
令 \(R=(\eta _1,\eta _2)=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\) ,則 \(|R|=1\) . 故轉軸變換為\(x = Rx'\)
\(a_1'=\frac{1}{2}b^T𝜼_1= (-4\sqrt{2},0)𝜼_1=-4\ \ \ ,a_2'=\frac{1}{2}b^T𝜼_2= (-4\sqrt{2},0)𝜼_2=-4\)
故 $𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2y′^2 − 8𝑥′ + 8𝑦′ − 4 = 0 . $
故在轉軸變換 \(\begin{cases} x= \frac{\sqrt{2} }{2}𝑥′ +\frac{\sqrt{2} }{2}y' \\ y= -\frac{\sqrt{2} }{2}𝑥′ +\frac{\sqrt{2} }{2}y' \end{cases}\) \(（ 對應𝜃 = −\frac{𝜋}{4} ）\)下，得
$𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2y′^2 − 8𝑥′ - 8𝑦′ +4 = 0 . $
再做移軸變換進一步化簡 . 配方得 \(𝐹 (𝑥′, 𝑦′) =2(𝑦′ − 2)^2 − 8 (𝑥′ + \frac{1}{2}) = 0 .\)
令 \(\begin{cases} x''= 𝑥′ +\frac{1 }{2} \\ y''= y'-2 \end{cases}\)得
\(𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2y''^2 − 8𝑥''= 0.\)
\(即 𝐶: 𝑦′′ ^2 = 4 𝑥 ′′\), 其圖形為拋物線 .
且 \(\begin{cases} x= \frac{\sqrt{2} }{2}(𝑥'' - \frac{1 }{2} ) + \frac{\sqrt{2} }{2}(y'' +2 ) =\frac{\sqrt{2} }{2}x''+\frac{\sqrt{2} }{2}y''+\frac{3\sqrt{2} }{4} \\ y=- \frac{\sqrt{2} }{2}(𝑥'' - \frac{1 }{2} ) + \frac{\sqrt{2} }{2}(y'' +2 ) =-\frac{\sqrt{2} }{2}x''+\frac{\sqrt{2} }{2}y''+\frac{5\sqrt{2} }{4}\end{cases}\)
3、平面二次曲線的不變量
對於平面二次曲線方程
$F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. $
如果方程系數的一個確定的函數經過某種坐標變換后其函數值不變，則稱這個函數是平面二次曲線 $\large\color\red{關於該坐標變換的不變量.} $
如果方程系數的一個確定的函數經過$\large\color\red{轉軸或移軸變換} $ 后其函數值不變，則稱這個函數是這條曲線的不變量．
一些記號
平面二次曲線的不變量
對於平面二次曲線方程
$F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. $
定義與其系數相關的三個量：
\(\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 2} }}\)對於平面二次曲線的轉軸變換，\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\) 都是不變量 .
【證】 對於平面二次曲線
作轉軸變換 $x = Rx' $, 得
其中 𝑅 為正交矩陣，且 \(|𝑅| = 1\) .
結論成立 .
【注】由線性代數知，旋轉變換不改變矩陣的特征值，故$𝐼_1 ,𝐼_2 $ 是不變量
\(\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 3} }}\)對於平面二次曲線的移軸變換，\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\) 都是不變量 .
【證】 對於平面二次曲線
$F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. $
作移軸變換\(\begin{cases} x= 𝑥′ + 𝑥_0\\ y= y′ + y_0 \end{cases}\),代入曲線方程，整理得
從 \(𝐹 (𝑥′, 𝑦′)\) 的表達式知，移軸不改二次項的系數，故
其中
【注】\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\) 都是平面二次曲線不變量 .
\(\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 4} }}\)對於平面二次曲線，\(K_1 = \begin{vmatrix} 𝑎_{11} & 𝑎_{1} \\ 𝑎_{1} & 𝑎_{0} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 𝑎_{22} & 𝑎_{2} \\ 𝑎_{2} & 𝑎_{0} \end{vmatrix}\)關於轉軸是不變量，且當\(I_2=I_3=0\)時，\(𝐾_1\) 是移軸的不變量 . 稱\(𝐾_1\) 是\(\color{red}{半不變量}\) .
【證】 作轉軸變換 \(x = Rx'\), 得\(\tilde{A'} =\begin{bmatrix} R^TAR & R^T\delta \\ \delta^TR &a_0 \end{bmatrix},\delta' =R^T \delta =\begin{pmatrix} a_1'\\ a_2'\\ \end{pmatrix}\)
當\(I_2=0\)時，有\(𝑎_{11} 𝑎_{22}= 𝑎_{12}^2\)，且$a_{11}, a_{22} $至少一個不為 0 .
不妨設\(a_{22}≠0\)．記\(a_{11}: a_{12}= a_{21}: a_{22}= k\),注意\(a_{12}= a_{21}\) ,當\(I_3=0\)時，有
當\(I_2=I_3=0\)時，作移軸變換 ,由\(a_{11}: a_{12}= a_{21}: a_{22}=a_{1}: a_{2}= k\)及
知
\(\mathrm{又~} a_{22}^{\prime}=a_{22}, \quad a_{2}^{\prime}=a_{21} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2}=k a_{22} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2},\)
\(a_{0}^{\prime}=k^{2} a_{22} x_{0}^{2}+2 k a_{22} x_{0} y_{0}+a_{22} y_{0}^{2}+2 k a_{2} x_{0}+2 a_{2} y_{0}+a_{0}\)
\(\left|\begin{array}{ll}a_{22}^{\prime} & a_{2}^{\prime} \\ a_{2}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array}\right|=\)
\(\left|\begin{array}{cc} a_{22} & k a_{22} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2} \\ k a_{22} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2} & k^{2} a_{22} x_{0}^{2}+2 k a_{22} x_{0} y_{0}+a_{22} y_{0}^{2}+2 k a_{2} x_{0}+2 a_{2} y_{0}+a_{0}\end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{cc}a_{22} & k a_{22} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2} \\ a_{2} & k a_{2} x_{0}+a_{2} y_{0}+a_{0}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0}\end{array}\right|\)
所以, \(\quad K_{1}^{\prime}=\left|\begin{array}{cc}a_{11}^{\prime} & a_{1}^{\prime} \\ a_{1}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a_{22}^{\prime} & a_{2}^{\prime} \\ a_{2}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a_{0}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0}\end{array}\right|=K_{1}\)
利用不變量確定平面二次曲線的類型和形狀
平面二次曲線：
$F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. $
當 \(𝐼_2 ≠ 0\) 時，通過合適的轉軸和移軸變換，得到最簡方程：
由於\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\)是不變量，則 \(𝐼_1 =𝑎′_{11} + 𝑎′_{ 22}\), \(𝐼_2 = 𝑎′_{11} ,𝑎′_{ 22}\)。
當 \(𝐼_2 ≠ 0\) 時，最簡方程：\(𝐶: 𝜆_1𝑥′^2 + 𝜆_2𝑦′^2 +\frac{I_3}{I_2} = 0 .\) \(\bbox[cyan ,2pt]{𝐼_1 = 𝜆_1 + 𝜆_2,𝐼_2 = 𝜆_1𝜆_2 .}\)
第Ⅰ類 . 若 \(𝐼_2 > 0\)，則曲線為橢圓型 .
（1） 若 \(𝐼_3𝐼_1 < 0\)，則曲線為橢圓；
（2） 若 \(𝐼_3𝐼_1 > 0\)，則曲線為虛橢圓；
（3） 若 \(𝐼_3 = 0\)，則曲線為一個點（一對虛相交線）
第Ⅱ類 . 若 𝐼2 < 0，則曲線為雙曲型 .
（4） 若 \(𝐼_3 ≠ 0\)，則曲線為雙曲線；
（5） 若 \(𝐼_3 = 0\)，則曲線為一對相交直線；
第Ⅲ類 . 若 \(𝐼_2 = 0\)，則曲線為拋物型 .
(6)若最簡方程為第一種形式\(C:a'_{22}y'^2 + 2a'_1x' = 0 ,a'_{22}≠ 0,a'_1≠0\),則曲線為拋物線 .
若最簡方程為第二種形式 \(𝐶: 𝑎′_{22}𝑦′^2 + 𝑎′_0 = 0 , 𝑎′_{22} ≠ 0\)
（7）若\(𝐾_1 < 0\) , 則曲線為一對平行直線 .
（8）若\(𝐾_1 > 0\) , 則曲線為一對虛平行直線 .
（9）若\(𝐾_1 = 0\) , 則曲線為一對重合直線 .
例3
討論曲線 \(C: \lambda x^{2}-2 x y+\lambda y^{2}-2 x+2 y+5=0\) 的類型
其中 \(\lambda\) 為參數 \(.\)
(解 \(]\) 計算不變量: \(\quad I_{1}=2 \lambda, \quad I_{2}=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -1 \\ -1 & \lambda\end{array}\right|=\lambda^{2}-1\),
\(I_{3}=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & 1 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right|=5 \lambda^{2}-2 \lambda-3=5\left(\lambda+\frac{3}{5}\right)(\lambda-1)\)
\(K_{1}=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -1 \\ -1 & 5\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}\lambda & 1 \\ 1 & 5\end{array}\right|=10 \lambda-2=10\left(\lambda-\frac{1}{5}\right)\)
(1)當 \(|\lambda|>1\) 時, \(I_{2}>0,\) 曲線為橢圓型 \(.\)
\((1.1)\text { 當 } \lambda<-1\) 時, \(I_{1}<0, I_{3}>0,\) 曲線為橢圓 \(.\)
(1.2)$\text { 當 } \lambda>1 \text { 時, } I_{1}>0, I_{3}>0, \text { 曲線為虛橢圓 } $
(2) 當 \(|\lambda|<1\) 時, \(I_{2}<0\), 曲線為雙曲型 \(.\)
(2.1) 當 \(-1<\lambda<1\) 且 \(\lambda \neq-\frac{3}{5}\) 時, \(I_{3} \neq 0,\) 曲線為雙曲線 \(.\)
(2.2) 當 \(\lambda=-\frac{3}{5}\) 時, \(I_{3}=0,\) 曲線是一對相交直線 \(.\)
(3) 當 \(|\lambda|=1\) 時, \(I_{2}=0\), 曲線為拋物線
(3.1) 當 \(\lambda=-1\) 時, \(I_{3} \neq 0,\) 曲線是拋物線 \(.\)
(3.2) 當 \(\lambda=1\) 時, \(I_{3}=0, K_{1}=8>0,\) 曲線為一對虛平行直線.
參考資料
[1] 宋衛東 . 《解析幾何》，高等教育出版社.
[2] 丘維聲編. 《解析幾何》. 北京大學出版社.
[2] 呂林根，許子道等編. 《解析幾何》. 高等教育出版社.
[3] 呂林根. 《解析幾何學習輔導書》. 高等教育出版社.
[4] 謝敬然，柯媛元. 空間解析幾何，高等教育出版社
[5] 周建偉 解析幾何，高等教育出版社