几何代数59 ----平面二次曲线的分类
学习李建平教授空间解析几何的分享笔记。
平面二次曲线方程
回顾：通过平面直角坐标变换，可化简平面二次曲线方程， 从而快速判定曲线的图形 .
问题1：平面二次曲线的图形有哪几种 ？
问题2：什么是平面二次曲线在坐标变换下的不变量？ 如何根据不变量来判定曲线的图形 ？
1、消去二次交叉项 ——利用线性代数知识
回顾：
作适当的转轴变换可以消去平面二次曲线方程中的二次交叉项
平面二次曲线方程：
\(G(x,y) = \mathbf{x }^TA \mathbf{x },\mathbf{x }= \binom{x}{y},\color{blue}{A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix}}\)\(, \mathbf{b }=\binom{2a_1}{2a_2},c=a_0\)
\(F(x,y)=\mathbf{x }^TA \mathbf{x }+\mathbf{b }^T \mathbf{x }+c\)
消去二次交叉项:
\(\Large\color{orange}{转轴变换：}\) \(\begin{cases} x= x' cos\theta -y'sin \theta \\ y= x' sin\theta +y'cos\theta \end{cases}\), \(\Rightarrow\) \(\bbox[pink]{\binom{x}{y}=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix}\binom{x'}{y'} }\)
\(\Large\color{orange}{转轴矩阵：}\)\(R =\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta& cos\theta \end{bmatrix} ,\) \(\large\mathbf{x }'=\binom{x'}{y'}\)
\(𝒙 = 𝑅𝒙′\)
【注】
- （1）转轴矩阵是正交矩阵，且行列式为1 .
- (2)$RR^T =I $ .
- (3) $R^{-1} = R^T $.
\(𝐺(𝑥′, 𝑦′)= 𝒙^𝑇𝐴𝒙 = (𝑹𝒙′)^𝑇𝐴𝑅𝒙′ = 𝒙′^𝑇𝑹^𝑇𝐴𝑅𝒙′ = 𝒙′^T𝐴′𝑥′\)
\(\large其中 𝐴′ = 𝑅^T𝐴𝑅 是对称矩阵\) .
要使 $𝐺 (𝑥′, 𝑦′ )= 𝒙′^T𝐴′𝑥′ $不含二次交叉项 ，只要 $𝐴′ $为对角矩阵 .
设 \(𝑅 = (𝜼_1, 𝜼_2)\) ， 由于 𝑅 是正交矩阵, \(𝑅^{−1} = 𝑅^T\)， 且 \(𝜼_1, 𝜼_2\ne 0\) , 有
\(A (𝜼_1, 𝜼_2) = (𝜼_1, 𝜼_2) \color{blue}{\begin{bmatrix} a_{11}'& 0\\ 0& a_{22}'\end{bmatrix}}\)\(\Rightarrow \begin{cases} A𝜼_1= a_{11}'𝜼_1\\ A𝜼_2= a_{22}'𝜼_2 \end{cases}\) , $\bbox[yellow ,2pt]{共性 𝐴𝜼 = 𝜆𝜼 } $
回顾：
矩阵的特征值与特征向量
1．对于n阶方阵A，如果存在数 \(\lambda\) 和 $n $维非零向量 \(\eta\) ,使得
则称\(\lambda\)为矩阵A的特征值，\(\eta\)为矩阵A对应特征值\(\lambda\) 的特征向量．
2.特征值是特征方程 \(|\lambda I -A|=0\) 的根.称n次多项式 \(f(A)=|\lambda I -A|\)为特征多项式.
3.特征向量是齐次线性方程组 \((\lambda I -A)x =0\) 的$\large\color{orange}{非零解} $．
4.称\(n\)阶方阵\(A\)的主对角线上所有元素之和为\(A\)的迹，记作 \(tr(A)\) .
5.\(\large\color{orange}{矩阵迹的性质: }\)对于n阶方阵\(A ,B\)，有
6.$\large\color{orange}{特征值的性质:} $
$(1)\lambda_1+\lambda_2+…＋ \lambda_n = tr(A).\qquad (2) \lambda_1\lambda_2…\lambda_n = |A|. $
7.若A为实对称矩阵，则其特征值 \(\lambda\) 为实数，特征向量 \(\eta\) 为实向量.
$\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 1} }} $设 \(A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{bmatrix}\)是 2 阶实对称矩阵 ，则A有两个相等或不等的实特征值，并且
- (1)A有两个相等的实特征值当且仅当 \(a_{11}= a_{22}\) ,且 $a_{12}=0 $
- (2)当 $a_{11}\ne a_{22} $，或 $a_{12}\ne0 $时，A有两个不等的实特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\) 它们对应的特征向量 \(β_1,β_2\) \(\Large\color{red}{相互正交}\).
【定理1的证明】𝐴 的特征方程为 \(\begin{vmatrix} \lambda -a_{11}& -a_{12}\\ -a_{21}& \lambda - a_{22} \end{vmatrix}=0\) ,即
$𝜆^2 − (𝑎_{11} + 𝑎_{22}) 𝜆 + (𝑎_{11}𝑎_{22}− 𝑎_{12}𝑎_{21} )= 0 . $
因 $Δ = (𝑎_{11} + 𝑎_{22})^2 -4 (𝑎_{11}𝑎_{22}− 𝑎_{12}𝑎_{21} )=(𝑎_{11} - 𝑎_{22})^2 +4𝑎_{12}^2 \geq 0 $
所以A有两个相等或不等的实特征值，并且
(1)A有两个相等的实特征值当且仅当 $a_{11}= a_{22} $,且 \(a_{12}=0\) 。
(2)当 $a_{11}\ne a_{22} $，或 $a_{12}\ne0 $时，A有两个不等的实特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\) 。
又 \(𝐴𝜷_1 = 𝜆_1𝜷_1，𝐴𝜷_2 = 𝜆_2𝜷_2\) , 则
\(𝜷_2^T𝐴𝜷_1 = 𝜆_1𝜷_2^T𝜷_1，𝜷_1^T𝐴𝜷_2 = 𝜆_2𝜷_1^T𝜷_2\), 故\((𝜆_1-𝜆_2)𝜷_1^T𝜷_2 =0\), 即 \(𝜷_1^T𝜷_2 =0\).
\(\large\color{orange}{当平面二次曲线方程的二次交叉项系数a_{12}\ne0 时:}\)
A有两个不等的实特征值 \(\lambda_1,\lambda_2\), 它们对应的特征向量 \(β_1,β_2\)互正交.
令 $\eta _1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|} ,\eta _2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|} $ , 再设 $R=(\eta _1,\eta _2) $，则 $𝑅 $是正交矩阵 .
$\large\color{orange}{适当选取 𝜷_𝟏,𝜷_𝟐 ，使 |𝑅| = 𝟏 , 则 𝑅 为转轴变换矩阵 .} $
令 $x = Rx' $，则二次项部分
$𝐺 (𝑥′, 𝑦′) = 𝜆_1𝑥'^2 + 𝜆_2𝑦'^2 $
二次曲线 方程中 的一次项和常数项的变化
令 $x = Rx' $，则有
$F(x', y') = \mathbf{x }^TA\mathbf{x }+b^T\mathbf{x } +c = \mathbf{x }'^T R^TAR\mathbf{x }'+b^ TR\mathbf{x }'+ c. $
- 常数项不变
- 一次项的变化
\(b^ TR\mathbf{x }' = b^T(𝜼_1, 𝜼_2) \binom{x'}{y'}=b^T𝜼_1x'+b^T𝜼_2y'=2a_1'x'+2a_2'y'\)
\(\large其中a_1'=\frac{1}{2}b^T𝜼_1,a_2'=\frac{1}{2}b^T𝜼_2\)
\(\Rightarrow F (𝑥′, 𝑦′) = 𝜆_1𝑥'^2 + 𝜆_2𝑦'^2+2a_1'x'+2a_2'y'+a_0\)
例1
用转轴化简方程 $C:5x^2-6xy + 5y^2-6\sqrt{2} x ＋2\sqrt{2}y -4= 0. $
【解】 因 \({A=\begin{bmatrix} 5& -3\\ -3& 5\end{bmatrix}}\) ,则其特征方程为 \(\begin{vmatrix} \lambda-5& -3\\ -3& \lambda-5\end{vmatrix}=0\) 即
$ \large𝜆^2 − 10 𝜆 + 16 = 0 , 特征值为 𝜆_1 = 2 , 𝜆_2 = 8 . $
对于特征值为 \(𝜆_1 = 2\)方程组\(\begin{cases} −3𝑥 + 3𝑦 = 0\\ 3𝑥 − 3𝑦 = 0 \end{cases}\) ,的一个非零解为 \(\beta_1=(1,1)^T\)
对于特征值为 \(𝜆_1 =8\)方程组\(\begin{cases} 3𝑥 + 3𝑦 = 0\\ 3𝑥 + 3𝑦 = 0 \end{cases}\),的一个非零解为 \(\beta_2=(-1,1)^T\)
\(\eta _1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T ,\eta _2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1)^T .\)
令 \(R=(\eta _1,\eta _2)=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\) ,则 \(|R|=1\) . 故转轴变换为\(x = Rx'\)
\(a_1'=\frac{1}{2}b^T𝜼_1= (-3\sqrt{2},\sqrt{2})𝜼_1=-2\ \ \ ,a_2'=\frac{1}{2}b^T𝜼_2= (-3\sqrt{2},\sqrt{2})𝜼_2=4\) $\large故 𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2𝑥′^2 + 8𝑦′^2 − 4𝑥′ + 8𝑦′ − 4 = 0 . $
2、平面二次曲线的分类
平面二次曲线方程
经过合适的转轴变换后消去二次交叉项，得到
\(F (𝑥′, 𝑦′) = 𝜆_1𝑥'^2 + 𝜆_2𝑦'^2+2a_1'x'+2a_2'y'+a_0;\)
其中 \(\lambda_1 = a'_{11} , \lambda_2 = a'_{22}\) . \(\large\color{red}{再做移轴变换进一步化简 .}\)
\(F (𝑥′, 𝑦′) = a'_{11}𝑥'^2 +a'_{22} 𝑦'^2+2a_1'x'+2a_2'y'+a_0\)
\(\large当 a'_{11}与 a'_{22}全不为0时：\)
配方得 \(a'_{11}(x'+\frac{a_1'}{ a'_{11}})^2 + a'_{22}(y'+\frac{a_2'}{ a'_{22}})^2+a_0-\frac{a_1'^2}{ a'_{11}}-\frac{a_2'^2}{ a'_{22}}=0\),
再移轴\(\begin{cases} x''= x' +\frac{a_1'}{ a'_{11}} \\ y''= y' +\frac{a_2'}{ a'_{22}} \end{cases}\),得 \(\large\bbox[cyan ,2pt]{F (𝑥'', 𝑦'') =a'_{11}x''^2+a'_{22}y''^2+a_0'=0}\),
\(\large其中a_0'=a_0-(\frac{a_1'^2}{ a'_{11}}+\frac{a_2'^2}{ a'_{22}})\) .
\(\Large\color{violet}{情形1：a'_{11} 与 a'_{22}同号.}\)
(1)当 \(a'_0与a'_{11}\)异号时，得 \(\large\frac{x''^2}{a^2}+\frac{y''^2}{b^2}=1\) ---------椭圆
(2)当 \(a'_0与a'_{11}\)同号时，得 \(\large \frac{x''^2}{a^2}+\frac{y''^2}{b^2}=-1\) -------虚椭圆
(3）当 $a'_0=0 $时，得 \(\large\frac{x''^2}{a^2}+\frac{y''^2}{b^2}=0\)-----------一对虚相交线
\(\Large\color{violet}{情形2：a'_{11} 与 a'_{22}异号.}\)
(1)当 \(a'_0与a'_{11}\) 异号时，得 \(\large\frac{x''^2}{a^2}-\frac{y''^2}{b^2}=1\) ---------双曲线
当\(a'_0与a'_{11}\)同号时，得 \(\large-\frac{x''^2}{a^2}+\frac{y''^2}{b^2}=1\)-------双曲线
(2）当 \(a'_0=0\) 时，得 \(\large\frac{x''^2}{a^2}-\frac{y''^2}{b^2}=0\) -----------相交直线
\(\Large\color{violet}{情形3：a'_{11} 与 a'_{22}恰好一个为0.}\)
约定\(A\)的特征值为 \(\lambda_1= 0,\lambda_2≠0\)，则 \(a'_{11} = 0 ,a'_{22}≠0\)，得
\(F (𝑥′, 𝑦′) = a'_{22} 𝑦'^2+2a_1'x'+2a_2'y'+a_0\) ,配方得
\(a'_{22}(y'+\frac{a_2'}{ a'_{22}})^2+2𝑎_1′ 𝑥′ +a_0-\frac{a_2'^2}{ a'_{22}}=0 .\)
（1）当$𝑎_1′≠ 0 $ 时，移轴 \(\begin{cases} x''= x' +\frac{a_0a'_{22}-a_2'^2}{2a'_{1} a'_{22}} \\ y''= y' +\frac{a_2' }{ a'_{22}} \end{cases}\) 得 \(𝑎′_{22}𝑦′′^2 + 2𝑎_1′ 𝑥′′ = 0 .\) ------抛物线
（2）当$𝑎_1′= 0 $ 时，移轴 \(\begin{cases} x''= x' \\ y''= y' +\frac{a_2' }{ a'_{22}} \end{cases}\)得 \(𝑎'_{22}𝑦′′^2 + a_0' = 0 .\) \(\bbox[cyan ,2pt]{a_0' =a_0-\frac{𝑎'^2_{2}}{𝑎'_{22}} }\)
(2.1)当 \(\large a_0' 与𝑎′_{22}\)同号时，方程无轨迹，或表示一对虚平行线.
(2.2)当\(\large a_0' 与𝑎′_{22}\)异号时，方程表示一对平行线．
(2.3)当\(a_0' =0\)时，方程表示一对重合直线（x 轴).
小结：平面二次曲线的种类（恰好3类9种）
第Ⅰ类 椭圆
（1）椭圆：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
（2）虚椭圆： \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1\)
（3）一对虚相交线： \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\)
第Ⅱ类 双曲线
（4）双曲线： \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)
（5）相交直线：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0\)
第Ⅲ类 抛物线
（6）抛物线 \(𝑦^2 = 𝑐𝑥.\)
（7）一对平行线： \(𝑦^2 = 𝑐^2.\)
（8）一对虚平行线： \(𝑦^2 = −𝑐^2.\)
（9）一对重合直线： \(𝑦^2 = 0 .\)
椭圆、双曲线与抛物线这3类曲线统称为圆锥曲线 .
例2
化简方程 $C:x^2 + 2xy + y^2-8\sqrt{2}x +4= 0 $，并作出其图形.
【解】 因 \({A=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 1\end{bmatrix}}\),则其特征方程为 \(\begin{vmatrix} \lambda -1& -1\\ -1& \lambda -1 \end{vmatrix}= 0\),
即 \(\lambda^2-2\lambda=0\) ，特征值为 \(𝜆_1 = 0 , 𝜆_2 = 2 .\)
对于特征值为 $ 𝜆_1 = 0$方程组 \(\begin{cases} −𝑥 −𝑦 = 0\\ −𝑥 −𝑦 = 0 \end{cases}\),的一个非零解为 $\beta_1=(1,-1)^T $
对于特征值为 \(𝜆_2 = 2\) 方程组 \(\begin{cases} 𝑥 -𝑦 = 0\\ -𝑥 +𝑦 = 0 \end{cases}\) ,的一个非零解为 \(\beta_2=(1,1)^T\)
$\eta _1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^T ,\eta _2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|}= \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T $ .
令 \(R=(\eta _1,\eta _2)=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}\) ,则 \(|R|=1\) . 故转轴变换为\(x = Rx'\)
\(a_1'=\frac{1}{2}b^T𝜼_1= (-4\sqrt{2},0)𝜼_1=-4\ \ \ ,a_2'=\frac{1}{2}b^T𝜼_2= (-4\sqrt{2},0)𝜼_2=-4\)
故 $𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2y′^2 − 8𝑥′ + 8𝑦′ − 4 = 0 . $
故在转轴变换 \(\begin{cases} x= \frac{\sqrt{2} }{2}𝑥′ +\frac{\sqrt{2} }{2}y' \\ y= -\frac{\sqrt{2} }{2}𝑥′ +\frac{\sqrt{2} }{2}y' \end{cases}\) \(（ 对应𝜃 = −\frac{𝜋}{4} ）\)下，得
$𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2y′^2 − 8𝑥′ - 8𝑦′ +4 = 0 . $
再做移轴变换进一步化简 . 配方得 \(𝐹 (𝑥′, 𝑦′) =2(𝑦′ − 2)^2 − 8 (𝑥′ + \frac{1}{2}) = 0 .\)
令 \(\begin{cases} x''= 𝑥′ +\frac{1 }{2} \\ y''= y'-2 \end{cases}\)得
\(𝐶: 𝐹 (𝑥′, 𝑦′) = 2y''^2 − 8𝑥''= 0.\)
\(即 𝐶: 𝑦′′ ^2 = 4 𝑥 ′′\), 其图形为抛物线 .
且 \(\begin{cases} x= \frac{\sqrt{2} }{2}(𝑥'' - \frac{1 }{2} ) + \frac{\sqrt{2} }{2}(y'' +2 ) =\frac{\sqrt{2} }{2}x''+\frac{\sqrt{2} }{2}y''+\frac{3\sqrt{2} }{4} \\ y=- \frac{\sqrt{2} }{2}(𝑥'' - \frac{1 }{2} ) + \frac{\sqrt{2} }{2}(y'' +2 ) =-\frac{\sqrt{2} }{2}x''+\frac{\sqrt{2} }{2}y''+\frac{5\sqrt{2} }{4}\end{cases}\)
3、平面二次曲线的不变量
对于平面二次曲线方程
$F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. $
如果方程系数的一个确定的函数经过某种坐标变换后其函数值不变，则称这个函数是平面二次曲线 $\large\color\red{关于该坐标变换的不变量.} $
如果方程系数的一个确定的函数经过$\large\color\red{转轴或移轴变换} $ 后其函数值不变，则称这个函数是这条曲线的不变量．
一些记号
平面二次曲线的不变量
对于平面二次曲线方程
$F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. $
定义与其系数相关的三个量：
\(\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 2} }}\)对于平面二次曲线的转轴变换，\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\) 都是不变量 .
【证】 对于平面二次曲线
作转轴变换 $x = Rx' $, 得
其中 𝑅 为正交矩阵，且 \(|𝑅| = 1\) .
结论成立 .
【注】由线性代数知，旋转变换不改变矩阵的特征值，故$𝐼_1 ,𝐼_2 $ 是不变量
\(\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 3} }}\)对于平面二次曲线的移轴变换，\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\) 都是不变量 .
【证】 对于平面二次曲线
$F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. $
作移轴变换\(\begin{cases} x= 𝑥′ + 𝑥_0\\ y= y′ + y_0 \end{cases}\),代入曲线方程，整理得
从 \(𝐹 (𝑥′, 𝑦′)\) 的表达式知，移轴不改二次项的系数，故
其中
【注】\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\) 都是平面二次曲线不变量 .
\(\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理 4} }}\)对于平面二次曲线，\(K_1 = \begin{vmatrix} 𝑎_{11} & 𝑎_{1} \\ 𝑎_{1} & 𝑎_{0} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 𝑎_{22} & 𝑎_{2} \\ 𝑎_{2} & 𝑎_{0} \end{vmatrix}\)关于转轴是不变量，且当\(I_2=I_3=0\)时，\(𝐾_1\) 是移轴的不变量 . 称\(𝐾_1\) 是\(\color{red}{半不变量}\) .
【证】 作转轴变换 \(x = Rx'\), 得\(\tilde{A'} =\begin{bmatrix} R^TAR & R^T\delta \\ \delta^TR &a_0 \end{bmatrix},\delta' =R^T \delta =\begin{pmatrix} a_1'\\ a_2'\\ \end{pmatrix}\)
当\(I_2=0\)时，有\(𝑎_{11} 𝑎_{22}= 𝑎_{12}^2\)，且$a_{11}, a_{22} $至少一个不为 0 .
不妨设\(a_{22}≠0\)．记\(a_{11}: a_{12}= a_{21}: a_{22}= k\),注意\(a_{12}= a_{21}\) ,当\(I_3=0\)时，有
当\(I_2=I_3=0\)时，作移轴变换 ,由\(a_{11}: a_{12}= a_{21}: a_{22}=a_{1}: a_{2}= k\)及
知
\(\mathrm{又~} a_{22}^{\prime}=a_{22}, \quad a_{2}^{\prime}=a_{21} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2}=k a_{22} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2},\)
\(a_{0}^{\prime}=k^{2} a_{22} x_{0}^{2}+2 k a_{22} x_{0} y_{0}+a_{22} y_{0}^{2}+2 k a_{2} x_{0}+2 a_{2} y_{0}+a_{0}\)
\(\left|\begin{array}{ll}a_{22}^{\prime} & a_{2}^{\prime} \\ a_{2}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array}\right|=\)
\(\left|\begin{array}{cc} a_{22} & k a_{22} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2} \\ k a_{22} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2} & k^{2} a_{22} x_{0}^{2}+2 k a_{22} x_{0} y_{0}+a_{22} y_{0}^{2}+2 k a_{2} x_{0}+2 a_{2} y_{0}+a_{0}\end{array}\right|\)
\(=\left|\begin{array}{cc}a_{22} & k a_{22} x_{0}+a_{22} y_{0}+a_{2} \\ a_{2} & k a_{2} x_{0}+a_{2} y_{0}+a_{0}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0}\end{array}\right|\)
所以, \(\quad K_{1}^{\prime}=\left|\begin{array}{cc}a_{11}^{\prime} & a_{1}^{\prime} \\ a_{1}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a_{22}^{\prime} & a_{2}^{\prime} \\ a_{2}^{\prime} & a_{0}^{\prime}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{1} \\ a_{1} & a_{0}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}a_{22} & a_{2} \\ a_{2} & a_{0}\end{array}\right|=K_{1}\)
利用不变量确定平面二次曲线的类型和形状
平面二次曲线：
$F(x,y)= a_{11}x^2+2a_{12}xy +a_{22}y^2 + 2a_{1}x + 2a_{2}y +a_0= 0. $
当 \(𝐼_2 ≠ 0\) 时，通过合适的转轴和移轴变换，得到最简方程：
由于\(𝐼_1 ,𝐼_2 ,𝐼_3\)是不变量，则 \(𝐼_1 =𝑎′_{11} + 𝑎′_{ 22}\), \(𝐼_2 = 𝑎′_{11} ,𝑎′_{ 22}\)。
当 \(𝐼_2 ≠ 0\) 时，最简方程：\(𝐶: 𝜆_1𝑥′^2 + 𝜆_2𝑦′^2 +\frac{I_3}{I_2} = 0 .\) \(\bbox[cyan ,2pt]{𝐼_1 = 𝜆_1 + 𝜆_2,𝐼_2 = 𝜆_1𝜆_2 .}\)
第Ⅰ类 . 若 \(𝐼_2 > 0\)，则曲线为椭圆型 .
（1） 若 \(𝐼_3𝐼_1 < 0\)，则曲线为椭圆；
（2） 若 \(𝐼_3𝐼_1 > 0\)，则曲线为虚椭圆；
（3） 若 \(𝐼_3 = 0\)，则曲线为一个点（一对虚相交线）
第Ⅱ类 . 若 𝐼2 < 0，则曲线为双曲型 .
（4） 若 \(𝐼_3 ≠ 0\)，则曲线为双曲线；
（5） 若 \(𝐼_3 = 0\)，则曲线为一对相交直线；
第Ⅲ类 . 若 \(𝐼_2 = 0\)，则曲线为抛物型 .
(6)若最简方程为第一种形式\(C:a'_{22}y'^2 + 2a'_1x' = 0 ,a'_{22}≠ 0,a'_1≠0\),则曲线为抛物线 .
若最简方程为第二种形式 \(𝐶: 𝑎′_{22}𝑦′^2 + 𝑎′_0 = 0 , 𝑎′_{22} ≠ 0\)
（7）若\(𝐾_1 < 0\) , 则曲线为一对平行直线 .
（8）若\(𝐾_1 > 0\) , 则曲线为一对虚平行直线 .
（9）若\(𝐾_1 = 0\) , 则曲线为一对重合直线 .
例3
讨论曲线 \(C: \lambda x^{2}-2 x y+\lambda y^{2}-2 x+2 y+5=0\) 的类型
其中 \(\lambda\) 为参数 \(.\)
(解 \(]\) 计算不变量: \(\quad I_{1}=2 \lambda, \quad I_{2}=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -1 \\ -1 & \lambda\end{array}\right|=\lambda^{2}-1\),
\(I_{3}=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & -1 & -1 \\ -1 & \lambda & 1 \\ -1 & 1 & 5\end{array}\right|=5 \lambda^{2}-2 \lambda-3=5\left(\lambda+\frac{3}{5}\right)(\lambda-1)\)
\(K_{1}=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -1 \\ -1 & 5\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}\lambda & 1 \\ 1 & 5\end{array}\right|=10 \lambda-2=10\left(\lambda-\frac{1}{5}\right)\)
(1)当 \(|\lambda|>1\) 时, \(I_{2}>0,\) 曲线为椭圆型 \(.\)
\((1.1)\text { 当 } \lambda<-1\) 时, \(I_{1}<0, I_{3}>0,\) 曲线为椭圆 \(.\)
(1.2)$\text { 当 } \lambda>1 \text { 时, } I_{1}>0, I_{3}>0, \text { 曲线为虛椭圆 } $
(2) 当 \(|\lambda|<1\) 时, \(I_{2}<0\), 曲线为双曲型 \(.\)
(2.1) 当 \(-1<\lambda<1\) 且 \(\lambda \neq-\frac{3}{5}\) 时, \(I_{3} \neq 0,\) 曲线为双曲线 \(.\)
(2.2) 当 \(\lambda=-\frac{3}{5}\) 时, \(I_{3}=0,\) 曲线是一对相交直线 \(.\)
(3) 当 \(|\lambda|=1\) 时, \(I_{2}=0\), 曲线为抛物线
(3.1) 当 \(\lambda=-1\) 时, \(I_{3} \neq 0,\) 曲线是抛物线 \(.\)
(3.2) 当 \(\lambda=1\) 时, \(I_{3}=0, K_{1}=8>0,\) 曲线为一对虚平行直线.
参考资料
[1] 宋卫东 . 《解析几何》，高等教育出版社.
[2] 丘维声编. 《解析几何》. 北京大学出版社.
[2] 吕林根，许子道等编. 《解析几何》. 高等教育出版社.
[3] 吕林根. 《解析几何学习辅导书》. 高等教育出版社.
[4] 谢敬然，柯媛元. 空间解析几何，高等教育出版社
[5] 周建伟 解析几何，高等教育出版社