暑假總不能只學習平面幾何。所以這里也收集一些有趣的代數題或數論題，同時記下解法的一些提示。給未來的自己復習參考用。
多圖片預警（請注意流量）
目錄：
Part 0：其他(6)
Part 1：不等式(10)
Part 2：Gauss 函數(10)
Part 3：反證法(7)
Part 4：抽屜原理及類似方法(4)
Part 5：歸納法、遞推及類似方法(6)
Part 0：其他
1、
關鍵詞：定義有效的勢能函數。
2、
關鍵詞：一定要相信是存在的！中國剩余定理。
3、
關鍵詞：從特殊到一般。Sigma，Average。
4、
（IMO2019第1題）
關鍵詞：特殊點值；不停湊式子！
5、（這里混入一個圖論題）
（IMO2019第3題）
關鍵詞：度數奇偶性；按一定規則調整；Oier怎能不會圖論
6、
（IMO2019第4題）
關鍵詞：求范圍后枚舉
Part 1：不等式
1、
關鍵詞：三角換元
2、
方法一（朴素做法）：基本不等式或函數思想
方法二（三角換元）
3、
關鍵詞：三角換元，求導
4、
關鍵詞：特殊值，通分
6、
關鍵詞：基本不等式
7、
若a,b,c是△ABC的三邊長，求證：$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \ge 0$。
關鍵詞：換元，消除三角形約束。
8、
證明：當$x>0,y>0$時，$x^y+y^x>1$。
關鍵詞：伯努力不等式
9、
關鍵詞：先猜后證
方法一：齊次后基本不等式
方法二：調整法，分情況討論
10、（來自同學筆記）
設 $x_i$ 為正實數（$1\le i \le n$），$x_{n+1}=x_1$，$x_{n+2}=x_2$
求證： $\sum_{1\le i \le n} x_i \cdot x_{i+1} \le \sum_{1\le i \le n} \frac{2\cdot x_{i+1}^2(x_i+x_{i+2})}{x_i+2\cdot x_{i+1}+x_{i+2}}$
Part 2：Gauss 函數（下取整函數）（from 中等數學 2011.8）
1、
關鍵詞：換元，不等約束，最大公約數。
2、
關鍵詞：質因數分解，完全剩余系（or 威爾遜定理）。
3、
關鍵詞：[x]與{x}轉換，分子有理化。
4、
關鍵詞：同上題。
5、
關鍵詞：lucas定理。
（題解即用高斯函數證明了lucas）
6、
（Oier用二進制證起來舒適啊）
證法一：二進制
證法二：Gauss函數的意義
（喊一句666！）
7、
關鍵詞：Gauss函數的意義
（在尋夢圓度假時間想了一天這題。。靈感迸發時卻發現異常簡單。）
（是我太不熟練了！）
8、
關鍵詞：先猜后證
9、
關鍵詞：湊整
10、
關鍵詞：二進制
Part 3：反證法（from 中等數學 2011.9）
雖然下面的題目的精髓基本不在反證法。
就當成是披着反證法外衣的雜題集吧
1、
關鍵詞：無
2、
關鍵詞：反證法，質因子
3、
未解決……
4、
未解決……
5、
關鍵詞：同余方程。費馬小定理。
6、
若對於任意正整數n，滿足(a^n-n)是(b^n-n)的倍數（a,b為>1的正整數）。證明a=b 。
關鍵詞：無
7、
Part 4：抽屜原理及類似（來自同學筆記）
1、給定a>1，已知{bn}有上界，各項為>=2的正整數，{an}為正整數序列，a[n+1]=a[n]*b[n]。
求證：存在無窮多個p，使得p是(2^a[n]+a)的質因子。
關鍵詞：反證法
2、若 $t=x^3+y^2$（$x,y$為正整數），則 $t$為好數。
求證：對於任意$n>=2$，存在無窮多個$m，\{ m+1,...,m+n^2 \}$中恰含 $n+1$ 個好數。
關鍵詞：連續性。
3、N={0,1,...,2000}，滿足|S|=401∈N。證明：存在n，使得至少70個x滿足，x,n+x∈S。
關鍵詞：無
Part 5：歸納法與遞推
1、
（IMO2019第5題）
關鍵詞：樹狀圖；數學歸納；數列
2、
（USAMO2019 Problem 1）
關鍵詞：數歸，奇偶
3、
對任意奇數a，存在正整數 $x$, $y$，滿足 $x^x mod (2^y) = a$。
關鍵詞：數學歸納法
4、
證明：
1、存在無窮多正整數對 $n$, $m$，滿足 $n|m^2+1，m|n^2+1$。
2、對任意正整數 $s$，存在無窮多正整數對 $n$，$m$，滿足 $n|m^2+s，m|n^2+s$。
關鍵詞：遞推、迭代
5、
證明：存在無窮多正整數對 $n$，$m$，滿足 $\frac{n+1}{m}+\frac{m+1}{n}$ 為整數。
關鍵詞：和上題無太大差別
6、
證明：若 $4ab-1|(4a^2-1)^2$（$a,b$為正整數），則a=b。
關鍵詞：無窮遞降