本學期將繼續進行高等代數每周一題的活動。計划從第二教學周開始，到第十六教學周為止（根據法定節假日安排，中間個別周會適當地停止），每周的周末將公布1-2道思考題，供大家思考和解答。每周一題通過“謝啟鴻高等代數官方博客（以博文的形式）”和“高等代數在線課程17級課群（以課群話題的形式）”這兩個渠道同時發布，並通過17級的班級微信群及時通知大家。有興趣的同學可以將每周一題的解答寫在紙上，在課堂上交給謝啟鴻老師，或將紙質解答拍成圖片，作為附件上傳到該每周一題對應的課群話題中作為解答。謝啟鴻老師或研究生助教會對每周一題的解答進行批改和評價，並將優秀解答標記出來推薦給全班同學。
[問題2017A01] 設 $$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 & \cdots & 3n-2 \\ 1 & 5 & 9 & \cdots & 4n-3 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix},$$ 其中 $n\geq 2$, $A_{ij}$ 是 $|A|$ 的第 $(i,j)$ 元素的代數余子式. 證明: $|A|=\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$.
[問題2017A02] 設 $|A|$ 為 $n$ 階行列式, 其中 $n$ 為奇數, 且 $|A|$ 的所有元素都是整數. 證明: 若對任意的 $1\leq i\leq n$, $a_{ii}$ 都是偶數, 且對任意的 $1\leq i<j\leq n$, $a_{ij}+a_{ji}$ 都是偶數, 則 $|A|$ 也是偶數.
[問題2017A03] 求下列 $n$ 階行列式的值: $$|A|=\begin{vmatrix} 1+x^2 & x & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ x+x^2 & 1+x^2 & x & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & 1+x^2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0& \cdots & 1+x^2 & x \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & 1+x^2 \\ \end{vmatrix}.$$
[問題2017A04] 設 $A,B,C$ 均為 $2$ 階方陣, 滿足 $C=AB-BA$, $AC=CA$ 和 $BC=CB$, 求證: $C=0$.
提示 證明 $\mathrm{tr}(C)=\mathrm{tr}(C^2)=0$, 由此得到 $C=(c_{ij})$, 其中 $c_{22}=-c_{11}$ 且 $c_{11}^2+c_{12}c_{21}=0$. 若 $c_{12}=c_{21}=0$, 則 $c_{11}=c_{22}=0$, 從而 $C=0$, 結論得證. 若 $c_{12}\neq 0$ 或 $c_{21}\neq 0$, 試構造非異陣 $P$, 使得 $P^{-1}CP=\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$, 由此證明 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 也具有簡單的形式, 最后可得矛盾.
[問題2017A05] 設 $f_i(x)=a_{in}x^n+a_{i,n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{i1}x+a_{i0}\,(0\leq i\leq n)$, 其中 $a_{ij}\,(0\leq i,j\leq n)$ 都是整數. 設 $A=(a_{ij})_{0\leq i,j\leq n}$ 是對應的 $n+1$ 階方陣, 證明:
(1) 對任意的整數 $x$, $f_0(x),f_1(x),\cdots,f_n(x)$ 的最大公因數都要整除 $|A|$;
(2) 存在 $n+1$ 階整數矩陣 $B$ 使得 $AB=I_{n+1}$ 的充分必要條件是, 存在 $n+1$ 個不同的整數 $x_0,x_1,\cdots,x_n$, 使得 $n+1$ 階矩陣 $C=(f_i(x_j))_{0\leq i,j\leq n}$ 滿足 $|C|=\pm\prod\limits_{0\leq i<j\leq n}(x_j-x_i)$.
[問題2017A06] 設 $n$ 階循環矩陣 $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{pmatrix}$ 是非異陣, 試求逆陣 $A^{-1}$.
[問題2017A07] 設 $A=B+C$, 其中 $B$ 是 $n$ 階實對稱陣, $C$ 是 $n$ 階實反對稱陣, 滿足 $BC=0$. 證明: 若 $A^2=0$, 則 $A=0$.
[問題2017A08] 設 $A,B$ 是 2 階方陣, 若存在 2 階方陣 $P,Q$, 使得 $A=PQ$ 且 $B=QP$, 則記為 $A\,\sharp\,B$. 證明: 在所有 2 階方陣構成的集合中, $\sharp$ 是一個等價關系.
提示 按照行列式是否為零以及矩陣的跡是否為零來進行討論.
[問題2017A09] 設 $A,B$ 是 $n$ 階方陣, 若存在 $n$ 階方陣 $P,Q$, 使得 $A=PQ$ 且 $B=QP$, 則記為 $A\,\sharp\,B$. 證明: 若 $n\geq 3$, 則在所有 $n$ 階方陣構成的集合中, $\sharp$ 不是等價關系.
提示 當 $n=3$ 時, 用反證法, 構造簡單的矩陣得到矛盾. $n\geq 4$ 的情形可以歸結到 $n=3$ 的情形.
[問題2017A10] 設 $A,B,C$ 分別為 $m\times n$, $p\times q$ 和 $m\times q$ 矩陣, $M=\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \\ \end{pmatrix}$, 證明:
(1) $r(M)=r(A)+r(B)$ 成立當且僅當矩陣方程 $AX+YB=C$ 有解, 其中 $X,Y$ 分別為 $n\times q$ 和 $m\times p$ 未知矩陣;
(2) $r(M)\leq\min\{r(A)+q,r(B)+m\}$;
(3) 試給出 Sylvester 不等式和 Frobenius 不等式 (白皮書的例 3.64 和例 3.66) 等號成立的充分必要條件.
[問題2017A11] 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣且 $r(A)=r$, 證明: $A$ 的所有 $r$ 階主子式之和不等於零.
注 本題不能用高代 II 的方法 (特征值和實對稱陣的正交相似標准型) 來做, 限定只能用高代 I 的方法來做, 可參考白皮書的例 3.83.
[問題2017A12] 設 $A,B,C,D$ 為 $n$ 階實方陣, $S$ 為 $n$ 階實反對稱陣, $a$ 為非零實數, 滿足 $AB=CD=aI_n+S$. 求證: $AD+B'C'$ 是非異陣.
注 本題是第九屆全國大學生數學競賽預賽第四題結論的推廣. 可設 $D=BP$ 並利用線性方程的求解理論來證明.
[問題2017A13] 任取 $9$ 個不同的實數 $a_1,\cdots,a_9$, 證明: 存在 $1,\cdots,9$ 的全排列 $k_1,\cdots,k_9$, 使得 $$\begin{vmatrix} a_{k_1} & a_{k_2} & a_{k_3} \\ a_{k_4} & a_{k_5} & a_{k_6} \\ a_{k_7} & a_{k_8} & a_{k_9} \\ \end{vmatrix}\neq 0.$$
注 本題可以推廣到 $n^2$ 個不同實數的情形, 請參考《循環矩陣的性質及其應用》.
[問題2017A14] 設 $V,U$ 分別為數域 $K$ 上的 $n,m$ 維線性空間, 線性映射 $\varphi:V\to U$ 在 $V,U$ 的某組基下的表示矩陣為 $A$, 證明:
(1) 存在 $V$ 的一組基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ 和 $U$ 的一組基 $\{f_1,f_2,\cdots,f_m\}$, 使得 $\varphi$ 在這兩組基下的表示矩陣為 $\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$, 其中 $r=r(A)$;
(2) $\mathrm{Ker\,}\varphi=L(e_{r+1},\cdots,e_n)$, $\mathrm{Im\,}\varphi=L(f_1,\cdots,f_r)$, 特別地, $\dim\mathrm{Ker\,}\varphi=n-r(A)$, $r(\varphi)=\dim\mathrm{Im\,}\varphi=r(A)$;
(3) 存在線性映射 $\varphi_i:V\to U$, 使得 $r(\varphi_i)=1\,(1\leq i\leq r)$ 且 $\varphi=\varphi_1+\varphi_2+\cdots+\varphi_r$.
注 本題給出了高代教材第 4.4 節主定理的另一證明.
[問題2017A15] (1) 設 $\varphi$ 是數域 $K$ 上 $n\,(n\geq 2)$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 證明: 若 $V$ 只有平凡的 $\varphi-$不變子空間, 則 $\varphi$ 必為 $V$ 的自同構.
(2) 設 $\varphi,\psi$ 是數域 $K$ 上 $2n+1\,(n\geq 1)$ 維線性空間 $V$ 上的兩個非零線性變換, 滿足 $\varphi\psi+\psi\varphi=0$. 證明: $V$ 既有非平凡的 $\varphi-$不變子空間, 也有非平凡的 $\psi-$不變子空間.
(3) 舉例說明: 當 $V$ 的維數是偶數時, (2) 的結論一般不成立.
[問題2017A16] 設 $n$ 階方陣 $A$ 滿足 $A^{3m}+A+I_n=0$, 其中 $m$ 為正整數, 求證: $A^2+A+I_n$ 是非異陣, 並求其逆陣.