每周一題的說明
一、本學期高代I的每周一題面向16級的同學，將定期更新（一般每周的周末公布下一周的題目）;
二、歡迎16級的同學通過微信或書面方式提供解答圖片或紙質文件給我，優秀的解答可以分享給大家；
三、請大家先獨立思考和解答每周一題，實在做不出的情況下，可以點擊參考答案進行學習。
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[問題2016A01] 試求下列 $n+1$ 階行列式的值:
$$|A|=\begin{vmatrix} x-n & n & & & \\ -1 & x-n+2 & n-1 & & \\ & -2 & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & -n & x+n \\ \end{vmatrix}.$$
[問題2016A02] 設 $A,B$ 為 $n$ 階方陣, 滿足 $AB-BA=A^m\,(m\geq 1)$, 證明: $A$ 為奇異陣 (注意不能用高代 II 的方法).
[問題2016A03] 設 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 為 $n$ 個不同的數.
(i) 試求下列 Vander Monde 矩陣 $A$ 的逆陣:
$$A=\begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 & \lambda_1^2 & \cdots & \lambda_1^{n-1} \\ 1 & \lambda_2 & \lambda_2^2 & \cdots & \lambda_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & \lambda_n & \lambda_n^2 & \cdots & \lambda_n^{n-1} \end{pmatrix};$$
(ii) 設 $f(x)$ 為次數小於 $n$ 的多項式, 滿足 $f(\lambda_i)=b_i\,(1\leq i\leq n)$, 利用 (i) 的結論證明: $f(x)$ 必為如下形式的多項式 (稱為 Lagrange 插值公式):
$$f(x)=\sum_{i=1}^nb_i\dfrac{(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_{i-1})(x-\lambda_{i+1})\cdots(x-\lambda_n)}{(\lambda_i-\lambda_1)\cdots(\lambda_i-\lambda_{i-1})(\lambda_i-\lambda_{i+1})\cdots(\lambda_i-\lambda_n)}.$$
[問題2016A04] 設下列矩陣 $M$ 是可逆陣, 試求其逆陣 $M^{-1}$:
$$M=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1\\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \end{pmatrix}.$$
[問題2016A05] 每一行、每一列只有一個元素為 1, 其余元素為 0 的方陣稱為置換矩陣, $n$ 階置換矩陣全體記為 $P_n$. 證明: 若 $A,B\in P_n$, 則 $AB\in P_n$; $A^{-1}=A'\in P_n$.
[問題2016A06] 下列矩陣稱為 Toeplitz 矩陣或位移矩陣 (一列數 $a_{-(n-1)},\cdots,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}$ 依次向右平移一位):
$$A=\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1}\\ a_{-1} & a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ a_{-2} & a_{-1} & a_0 & \cdots & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{-(n-2)} & a_{-(n-3)} & a_{-(n-4)} & \cdots & a_1 \\ a_{-(n-1)} & a_{-(n-2)} & a_{-(n-3)} & \cdots & a_0 \\ \end{pmatrix}.$$
(i) 設 $N=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix}$, $M=N'$, 證明: $A=a_{-(n-1)}M^{n-1}+\cdots+a_{-2}M^2+a_{-1}M+a_0I_n+a_1N+a_2N^2+\cdots+a_{n-1}N^{n-1}$;
(ii) $n$ 階上三角 (下三角) Toeplitz 矩陣全體記為 $T_U$ ($T_L$), 證明: 若 $A,B\in T_U\,(T_L)$, 則 $AB\in T_U\,(T_L)$; 若 $A\in T_U\,(T_L)$ 為非異陣, 則 $A^{-1}\in T_U\,(T_L)$;
(iii) 舉例說明: 存在 $n$ 階 Toeplitz 矩陣 $A,B$, 使得 $AB$ 不是 Toeplitz 矩陣; 存在 $n$ 階非異 Toeplitz 矩陣 $A$, 使得 $A^{-1}$ 不是 Toeplitz 矩陣.
[總結: 高等代數中常見的矩陣] 對角陣, 分塊對角陣; 上 (下) 三角陣, 分塊上 (下) 三角陣; 標准單位行、列向量, 基礎矩陣 (白皮書第 55 頁及其相關應用); 初等矩陣, 分塊初等矩陣; 置換矩陣 (思考題 5); Toeplitz 矩陣 (思考題 6); 循環矩陣 (白皮書例 2.1, 例 2.12, 例 2.52, 例 6.32 和 15 級高代 I 思考題 12); Vander Monde 矩陣 (思考題 3 及其相關應用); 多項式的友陣 (白皮書例 6.14); 三對角矩陣 (白皮書例 1.23 和例 9.65) 等.
[問題2016A07] 設 $A,B$ 為 $n$ 階實方陣, 滿足 $A^2+B^2=0$, 設 $d=|AB-BA|$. 證明: 若 $n$ 是奇數, 則 $d=0$; 若 $n$ 能被 $4$ 整除, 則 $d\geq 0$; 若 $n$ 除以 $4$ 余 $2$, 則 $d\leq 0$.
[問題2016A08] 設 $J$ 為元素全為 $1$ 的 $n$ 階方陣, $X$ 為 $n$ 階未知矩陣, 滿足 $X=JX+XJ$, 證明: $X=0$ (注意不能用高代 II 的方法).
[問題2016A09] 設 $A,B$ 為 $n$ 階方陣, 滿足: $A^2=2A$, $B^2=2B$, $2I_n-A-B$ 為非異陣, 證明: $r(A)=r(B)$.
[問題2016A10] 設 $A,B$ 為 $n$ 階方陣, 滿足 $AB=0$, 證明: 若 $n$ 是奇數, 則 $AB'+A'B$ 必為奇異陣; 若 $n$ 為偶數, 舉例說明上述結論一般不成立.
[問題2016A11] 設 $A,B$ 為 $m\times n$ 和 $m\times p$ 矩陣, $X$ 為 $n\times p$ 未知矩陣, 證明: 矩陣方程 $AX=B$ 有解的充分必要條件是 $r(A\,|\,B)=r(A)$.
[問題2016A12] 設 $P_1,P_2,\cdots,P_k$, $Q_1,Q_2,\cdots,Q_k$ 是 $n$ 階方陣, 滿足 $\forall\,1\leq i,j\leq k$, $P_iQ_j=Q_jP_i$, $r(P_i)=r(P_iQ_i)$ 成立. 證明: $r(P_1P_2\cdots P_k)=r(P_1P_2\cdots P_kQ_1Q_2\cdots Q_k)$.
[問題2016A13] 設 $A,B$ 為 $m\times n$ 和 $n\times p$ 矩陣, 證明: 存在 $p\times n$ 矩陣 $C$, 使得 $ABC=A$ 的充要條件是 $r(A)=r(AB)$.
[問題2016A14] 設 $\varphi$ 是 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 證明: 若 $V$ 的任一 $n-1$ 維子空間都是 $\varphi$-不變子空間, 則 $\varphi$ 必為純量變換.
[問題2016A15] 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換.
(i) 設 $v\in V$, $g(x)\in\mathbb{K}[x]$, 使得 $g(\varphi)(v)=0$, 則稱 $g(x)$ 為 $v$ 的零化多項式. 證明: 在 $v$ 的全體非零零化多項式構成的集合中, 存在唯一的次數最小的首一零化多項式, 稱為 $v$ 的極小多項式, 記為 $m_v(x)$;
(ii) 設 $v\in V$, 稱由 $\{v,\varphi(v),\varphi^2(v),\cdots\}$ 張成的子空間 $C(\varphi,v)$ 為 $v$ 關於 $\varphi$ 的循環子空間. 設 $v$ 的極小多項式為 $m_v(x)=x^k+a_{k-1}x^{k-1}+\cdots+a_1x+a_0$, 證明: $\{v,\varphi(v),\cdots,\varphi^{k-1}(v)\}$ 構成了 $C(\varphi,v)$ 的一組基, 特別地, $\dim C(\varphi,v)=\deg m_v(x)$;
(iii) 設 $v$ 的極小多項式 $m_v(x)=m_1(x)m_2(x)\cdots m_r(x)$, 其中 $m_i(x)$ 是兩兩互素的首一多項式. 證明: 存在 $v_i\in C(\varphi,v)$, 使得 $v_i$ 的極小多項式為 $m_i(x)$, 並且 $$C(\varphi,v)=C(\varphi,v_1)\oplus C(\varphi,v_2)\oplus\cdots\oplus C(\varphi,v_r);$$
(iv) 設 $v_1,v_2,\cdots,v_r\in V$ 的極小多項式分別為 $m_1(x),m_2(x),\cdots,m_r(x)$, 它們是兩兩互素的多項式. 證明: 存在 $v\in V$, 使得 $v$ 的極小多項式 $m_v(x)=m_1(x)m_2(x)\cdots m_r(x)$, 並且 $$C(\varphi,v)=C(\varphi,v_1)\oplus C(\varphi,v_2)\oplus\cdots\oplus C(\varphi,v_r).$$
[問題2016A16] 設 $A$ 是有理數域 $\mathbb{Q}$ 上的 $n$ 階方陣, 滿足 $A^p=I_n$, 其中 $p$ 為素數. 證明: 對任意的復數 $\lambda_0$ 以及任意的整數 $0<k<p$, 若 $\lambda_0I_n-A$ 為奇異陣, 則 $\lambda_0^kI_n-A$ 也為奇異陣.