問題2014S01 設 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是次數等於 2 的 \(n\) 元實系數多項式, \(S\) 是使得 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 達到最大值或最小值的點的集合, 即 \(S=\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\leq\)\(f(b_1,b_2,\cdots,b_n)\), \(\forall\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n\}\)\(\cup\)\(\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\geq\)\(f(b_1,b_2,\cdots,b_n)\), \(\forall\,(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in\mathbb{R}^n\}\). 假設 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 是關於未定元 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的對稱多項式並且 \(S\) 為有限非空集合, 證明: 存在 \(b\in\mathbb{R}\) 使得 \[S=\{(b,b,\cdots,b)\}.\]
例 以下總是假設 \(n\geq 2\).
(1) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x_1^2\) 不是 \(n\) 元對稱多項式, \(S=\{(0,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\}\) 是一個無限集, 此時上述問題的結論不成立.
(2) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2\) 是對稱多項式, 但 \(S=\{(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in\mathbb{R}^n\,|\) \(b_1+b_2+\cdots+b_n=0\}\) 是無限集, 此時上述問題的結論不成立.
(3) \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\), \(S=\{(0,0,\cdots,0)\}\), 此時上述問題的結論成立.
注 上述問題改編自13級某位同學問我的非正式問題。他說：“高中老師說，對稱多項式達到最大值或最小值的點一定形如 \((b,b,\cdots,b)\) 。”上面的例(2)告訴我們，他的高中老師說的是不對的，至少還差了條件，上述問題就是考慮了次數等於2的情形。問題的證明還是有一定難度的，希望大家能踴躍嘗試各種方法進行解答。