本學期的高等代數每周一題活動計划從第1教學周開始，到第16教學周結束，每周的周末公布一道思考題（共16道，思考題一般與下周授課內容密切相關），供大家思考和解答。每周一題將通過“高等代數官方博客”（以博文的形式）和“高等代數在線課程19級課群”（以課群話題的形式）這兩個渠道同時發布。有興趣的同學可以將每周一題的解答寫在紙上、用手機APP掃描或用手機拍照（注意清晰度，且圖片像素不宜過高），並將解答圖片上傳到每周一題對應的課群話題中。本人會定期對每周一題的解答進行批改和評價，並將優秀解答標記出來推薦給全班同學。
[問題2020S01] 設數域 $\mathbb{K}$ 上的二元多項式 $f(x,y)$ 關於 $x$ 的次數小於等於 $n$, 關於 $y$ 的次數小於等於 $m$. 設 $\mathbb{K}$ 中存在兩組互不相同的數 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 和 $b_0,b_1,\cdots,b_m$, 使得 $$f(a_i,b_j)=0,\,\,\,\,0\leq i\leq n,\,\,0\leq j\leq m.$$ 證明: $f(x,y)$ 是零多項式.
[問題2020S02] 請用特征值法重新證明高代白皮書的例 5.72, 例 3.78 和例 3.80:
(1) 設 $f(x),g(x)$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的互素多項式, $A$ 是 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣, 滿足 $f(A)=0$, 證明: $g(A)$ 是非異陣.
(2) 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, $S$ 為 $n$ 階實反對稱陣, 證明: $I_n\pm S$ 和 $I_n\pm\mathrm{i}A$ 都是非異陣.
[問題2020S03] 設 $n$ 階復方陣 $A=\begin{pmatrix} a & b & \cdots & b \\ c & a & & \\ \vdots & & \ddots & \\ c & & & a \end{pmatrix}$, 試求 $A$ 可對角化的充要條件.
[問題2020S04] 設 $A$ 為數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣, $f(x),g(x)$ 為 $\mathbb{K}$ 上互素的多項式, 且它們在 $\mathbb{C}$ 中均無重根. 證明: 若 $r(f(A))+r(g(A))=n$, 則 $A$ 復可對角化.
[問題2020S05] 設 $n$ 階實方陣 $A,B$ 滿足: $A,B$ 的特征值都大於零, 且 $A^4+2A^3B=2AB^3+B^4$, 證明: $A=B$.
[問題2020S06] 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, $f(x)\in\mathbb{C}[x]$, 證明: $A$ 可對角化的充要條件是 $\begin{pmatrix} A & f(A) \\ f(A) & A \\ \end{pmatrix}$ 可對角化.
[問題2020S07] 設 $n$ 階實方陣 $A$ 的 $n-1$ 階行列式因子是一個 $n-2$ 次多項式, 試求 $A$ 的不變因子組及其有理標准型.
[問題2020S08] 設 $A\in M_n(\mathbb{K})$ 的不變因子組是 $1,\cdots,1,d_1(\lambda),\cdots,d_k(\lambda)$, 其中 $d_i(\lambda)$ 是非常數首一多項式, $d_i(\lambda)\mid d_{i+1}(\lambda)\,(1\leq i\leq k-1)$, 證明: $$r(A)=n-\sum\limits_{i=1}^k\delta_{d_i(0),0},$$ 其中記號 $\delta_{a,b}$ 表示: 若 $a=b$, 取值為 1; 若 $a\neq b$, 取值為 0.
[問題2020S09] 設 $\varphi$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, $\varphi$ 的初等因子組為 $P_1(\lambda)^{r_1},P_2(\lambda)^{r_2},\cdots,P_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $P_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上的首一不可約多項式. 證明: 存在 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k\in V$, 使得 $V=C(\varphi,\alpha_1)\oplus C(\varphi,\alpha_2)\oplus\cdots\oplus C(\varphi,\alpha_k)$, 其中 $C(\varphi,\alpha_i)=L(\alpha_i,\varphi(\alpha_i),\varphi^2(\alpha_i),\cdots)$ 是 $\varphi$ 關於循環向量 $\alpha_i$ 的循環子空間.
[問題2020S10] 設 $A$ 為 $3$ 階實方陣, 試求 $C(A)=\{B\in M_3(\mathbb{R})\mid AB=BA\}$.
[問題2020S11] 設 $V$ 為 $n$ 階復方陣全體構成的線性空間, $V$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\varphi(X)=AX-XA'$, 其中 $A\in V$. 證明: $\varphi$ 可對角化的充要條件是 $A$ 可對角化.
[問題2020S12] 設 $A,B$ 為 $n$ 階復方陣, 證明: $(AB)^n$ 與 $(BA)^n$ 相似.
[問題2020S13] 求 $n\,(n\geq 2)$ 階實對稱陣 $A$ 的正負慣性指數: $$A=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \\ \end{pmatrix}.$$
[問題2020S14] 求下列 $n$ 元實二次型的規范標准型: $$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i,j=1}^n\max\{i,j\}x_ix_j.$$
[問題2020S15] 設 $M$ 為 $n$ 階實方陣, 若對任意的 $n$ 維實列向量 $\alpha$, 有 $\alpha'M\alpha\geq 0$, 則稱 $M$ 為亞半正定陣.
(1) 證明: $n$ 階實方陣 $M$ 是亞半正定陣 $\Leftrightarrow$ $M+M'$ 是半正定陣 $\Leftrightarrow$ $M=A+S$, 其中 $A$ 是半正定實對稱陣, $S$ 是實反對稱陣.
(2) 設 $A,B$ 為 $n$ 階亞半正定陣, $c$ 為非負實數, 證明:
(2.1) $A+B$, $cA$, $A'$ 和 $A^*$ 都是亞半正定陣;
(2.2) 若 $C$ 為 $n$ 階實方陣, 則 $C'AC$ 也是亞半正定陣;
(2.3) 若 $C$ 為 $n$ 階亞正定陣, 則 $A+C$ 也是亞正定陣;
(2.4) $A$ 的特征值的實部都大於等於零, 特別地, $|A|\geq 0$;
(2.5) 舉例說明: 非異的亞半正定陣不一定是亞正定陣.
[問題2020S16] 設 $a$ 為正實數, 證明下列 $n$ 階實對稱陣為正定陣: $$A=\begin{pmatrix} a & \dfrac{a^2}{2} & \dfrac{a^3}{3} & \cdots & \dfrac{a^n}{n} \\ \dfrac{a^2}{2} & \dfrac{a^3}{3} & \dfrac{a^4}{4} & \cdots & \dfrac{a^{n+1}}{n+1} \\ \dfrac{a^3}{3} & \dfrac{a^4}{4} & \dfrac{a^5}{5} & \cdots & \dfrac{a^{n+2}}{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{a^n}{n} & \dfrac{a^{n+1}}{n+1} & \dfrac{a^{n+2}}{n+2} & \cdots & \dfrac{a^{2n-1}}{2n-1} \\ \end{pmatrix}.$$
[問題2020S17] 設 $V$ 為區間 $[-1,1]$ 上由次數不超過 $5$ 的實系數多項式構成的實線性空間, $V$ 上的內積定義為 $$(f,g)=\int^{+1}_{-1}f(x)g(x)\mathrm{d}x,$$ 試求$$\min_{f(x)\in V}\int^{+1}_{-1}(\sin\pi x-f(x))^2\mathrm{d}x.$$
[問題2020S18] 設 $Q$ 為 $n$ 階正交陣, $1$ 不是 $Q$ 的特征值. 設 $P=I_n-2uu'$, 其中 $u$ 是單位實列向量. 證明: $1$ 是 $PQ$ 的特征值.