本學期將繼續進行高等代數每周一題的活動。計划從第一教學周開始，到第十五教學周結束，每周的周末公布一道思考題（共15道），供大家思考和解答。每周一題將通過“高等代數官方博客”（以博文的形式）和“高等代數在線課程18級課群”（以課群話題的形式）這兩個渠道同時發布。有興趣的同學可以將每周一題的解答寫在紙上、拍成圖片，並上傳到每周一題對應的課群話題中。本人會對每周一題的解答進行批改和評價，並將優秀解答標記出來推薦給全班同學。
[問題2019S01] 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, 滿足 $(A')^m=A^k$, 其中 $m,k$ 是互異的正整數. 證明: $A$ 的特征值為 $0$ 或單位根.
[問題2019S02] 設 $V$ 為二維實線性空間, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上兩個非零線性變換, 滿足 $\varphi\psi+\psi\varphi=0$. 證明: 若 $V$ 只有平凡的 $\varphi-$不變子空間, 則 $V$ 必有非平凡的 $\psi-$不變子空間.
[問題2019S03] 設 $n\,(n\geq 2)$ 階方陣 $A=\begin{pmatrix} 0 & a & a & \cdots & a & a \\ b & 0 & a & \cdots & a & a \\ b & b & 0 & \cdots & a & a \\ b & b & b & \cdots & 0 & a \\ b & b & b & \cdots & b & 0 \\ \end{pmatrix}$, 其中 $a,b$ 是復數. 試求 $A$ 可對角化的充要條件.
[問題2019S04] 設 $A,B$ 為 $n$ 階方陣, 滿足: $A^2-2AB+B^2=0$.
(1) 若 $n=2$, 證明: $AB=BA$;
(2) 若 $n\geq 3$, 舉例說明: $AB=BA$ 不一定成立.
[問題2019S05] 設 $A$ 為數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣或具有相同行列分塊方式的分塊矩陣.
(1) 證明: 以下三種變換都是相似變換, 稱為相似初等變換:
(1.1) 對換 $A$ 的第 $i$ 行與第 $j$ 行, 再對換第 $i$ 列與第 $j$ 列;
(1.2) $A$ 的第 $i$ 行乘以非零常數 $c\in K$, 第 $i$ 列乘以 $c^{-1}$;
(1.3) $A$ 的第 $i$ 行乘以常數 $c\in K$ 加到第 $j$ 行上, 第 $j$ 列乘以 $-c$ 加到第 $i$ 列上.
(2) 證明: 任一相似變換都是若干次相似初等變換的復合.
(3) 證明: 以下三種變換都是相似變換, 稱為相似分塊初等變換:
(3.1) 對換 $A$ 的第 $i$ 分塊行與第 $j$ 分塊行, 再對換第 $i$ 分塊列與第 $j$ 分塊列;
(3.2) $A$ 的第 $i$ 分塊行左乘非異陣 $M$, 第 $i$ 分塊列右乘 $M^{-1}$;
(3.3) $A$ 的第 $i$ 分塊行左乘矩陣 $M$ 加到第 $j$ 分塊行上, 第 $j$ 分塊列右乘 $-M$ 加到第 $i$ 分塊列上.
[問題2019S06] 設 $A\in M_n(K)$, $B\in M_{n\times m}(K)$, 分塊矩陣 $(B,AB,\cdots,A^{n-2}B,A^{n-1}B)$ 的秩為 $r$. 證明: 存在可逆陣 $P\in M_n(K)$, 使得 $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \\ \end{pmatrix},\,\,\,\,P^{-1}B=\begin{pmatrix} B_1 \\ 0 \\ \end{pmatrix},$$ 其中 $A_{11}\in M_r(K)$, $B_1\in M_{r\times m}(K)$.
[問題2019S07] 設 $A,B,C$ 是 $n$ 階復矩陣, 滿足: $C=AB-BA$, $AC=CA$, $BC=CB$.
(1) 請用 Jordan 標准型理論證明: $C$ 的特征值全為零;
(2) 設 $m_A(\lambda),m_B(\lambda)$ 分別是 $A,B$ 的極小多項式, $k=\min\{\deg m_A(\lambda),\deg m_B(\lambda),n-1\}$, 證明: $C^k=0$.
[問題2019S08] 設 $n$ 階復矩陣 $A$ 滿足: 對任意的正整數 $k$, $\mathrm{tr}(A^k)=r(A)$, 證明: 對任意的正整數 $k$, $A$ 與 $A^k$ 都相似.
[問題2019S09] 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, $\theta_0$ 是 $\cos x=x$ 在 $(0,\dfrac{\pi}{2})$ 中的唯一解. 證明: 若 $A$ 的特征值全為 $\theta_0$, 則 $A$ 相似於 $\cos A$.
[問題2019S10] 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n$ 階實對稱陣, 證明: $A$ 為半正定陣的充要條件是對任意的 $n$ 階半正定實對稱陣 $B=(b_{ij})$, 都有 $\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}b_{ij}\geq 0$ 成立.
[問題2019S11] 設 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 個互異的正實數, $t$ 為正實數, $n$ 階方陣 $A=(a_{ij})$, 其中 $a_{ij}=(a_i+a_j)^{-t}$, 證明: $A$ 為正定陣.
注 白皮書例 8.27 是一道典型的正定陣判定的例題, 可以通過 Cauchy 行列式和構造積分內積兩種方法來證明 (參考白皮書 P392 和 P427). 白皮書第八章解答題 13 是例 8.27 的一種推廣, 例 8.27 的另一種推廣是 16 級高代 II 每周一題 [問題2017S14], 而本題是融合上述兩種推廣的進一步推廣.
[問題2019S12] 設 $V$ 為區間 $[-1,1]$ 上由次數不超過 $5$ 的實系數多項式構成的實線性空間, $V$ 上的內積定義為 $$(f,g)=\int^{+1}_{-1}f(x)g(x)\mathrm{d}x,$$ 試求 $$\min_{f(x)\in V}\int^{+1}_{-1}(e^x-f(x))^2\mathrm{d}x.$$
[問題2019S13] 設 $A,B,C$ 為 $n$ 階實對稱陣, 請用實對稱陣的正交相似標准型理論證明: $$\mathrm{tr}\big((ABC)^2\big)\leq\mathrm{tr}(A^2BC^2B),$$ 並求等號成立的充要條件.
[問題2019S14] 設 $A,B$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, 證明: $$\dfrac{2^{n+1}}{|A+B|}\leq\dfrac{1}{|A|}+\dfrac{1}{|B|},$$ 且等號成立的充要條件為 $A=B$.
[問題2019S15] 設 $V$ 是 $n$ 維歐氏空間, 向量組 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\}$ 滿足如下條件: 若存在非負實數 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$, 使得 $\lambda_1\alpha_1+\lambda_2\alpha_2+\cdots+\lambda_m\alpha_m=0$, 則必有 $\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0$. 證明: 必存在向量 $\alpha\in V$, 使得 $(\alpha,\alpha_i)>0\,\,(i=1,2,\cdots,m)$.