每周一題的說明
一、本學期高代II的每周一題面向16級的同學，將定期更新（一般每周的周末公布下一周的題目）;
二、歡迎16級的同學通過微信或書面方式提供解答圖片或紙質文件給我，優秀的解答可以分享給大家；
三、請大家先獨立思考和解答每周一題，實在做不出的情況下，可以點擊參考答案進行學習。
***********************************************************
[問題2017S01] 設 $A$ 是 $n$ 階對合陣, 即 $A^2=I_n$, 證明: $n-\mathrm{tr}(A)$ 為偶數, 並且 $\mathrm{tr}(A)=n$ 的充要條件是 $A=I_n$.
[問題2017S02] 設方陣 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & a & 0 \\ a-2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 可對角化, 求 $a$ 的值.
[問題2017S03] 設 $A_1,A_2,\cdots,A_m\in M_n(\mathbb{K})$, $g(x)\in\mathbb{K}[x]$, 使得 $g(A_1),g(A_2),\cdots,g(A_m)$ 都是非異陣, 證明: 存在 $h(x)\in\mathbb{K}[x]$, 使得 $g(A_i)^{-1}=h(A_i)$ 對所有的 $1\leq i\leq m$ 都成立.
注: 請用兩種方法進行證明上述問題.
[問題2017S04] 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n$ 階復矩陣, 證明: 存在正數 $\delta$, 使得對任意的 $s\in(0,\delta)$, 下列矩陣均可對角化: $$A(s)=\begin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}+s^2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}+s^n \end{pmatrix}.$$
注: 本題由樓紅衛教授給出, 曾作為15級高代II思考題第5題.
[問題2017S05] 設 $A$ 為 $n$ 階方陣, 證明: 若下列條件之一成立, 則矩陣方程 $AX+XA=X$ 只有零解:
(1) $A$ 為冪零陣, 即存在正整數 $m$, 使得 $A^m=0$; (2) $A$ 的所有元素都為 $1$; (3) $A$ 的特征值全為偶數; (4) $A$ 的所有特征值實部的絕對值都小於 $\dfrac{1}{2}$.
[問題2017S06] 證明: 實對稱陣有完全的特征向量系, 從而可對角化.
注: 本題不能用第九章內積空間的理論進行證明.
[問題2017S07] 設 $A,B,AB$ 都是 $n$ 階實對稱陣, 證明: 若 $s$ 是 $AB$ 的一個特征值, 則存在 $A$ 的特征值 $\lambda_0$ 和 $B$ 的特征值 $\mu_0$, 使得 $s=\lambda_0\mu_0$.
[問題2017S08] 設 $n$ 階實方陣 $A=\begin{pmatrix} a_1 & 1 & & & & \\ 1 & a_2 & 1 & & & \\ & 1 & a_3 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & a_{n-1} & 1 \\ & & & & 1 & a_n \end{pmatrix}$,
(i) 求證: $A$ 有 $n$ 個互不相同的特征值;
(ii) 試求實線性空間 $C(A)=\{B\in M_n(\mathbb{R})\mid AB=BA\}$ 的維數.
[問題2017S09] 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, $f(\lambda),m(\lambda)$ 分別是 $\varphi$ 的特征多項式和極小多項式. 以下各小問的假設是獨立的.
(i) 設 $f(\lambda)=m(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^n$, 試求 $V$ 的所有 $\varphi-$不變子空間.
(ii) 設 $f(\lambda)=f_1(\lambda)f_2(\lambda)\cdots f_k(\lambda)$, 其中 $f_i(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上兩兩互素的多項式. 設 $V_i=\mathrm{Ker\,}f_i(\varphi)$, 則 $V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k$. 任取 $V$ 的 $\varphi-$不變子空間 $U$, 證明: $U=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_k$, 其中 $U_i$ 是 $V_i$ 的 $\varphi-$不變子空間.
(iii) 設 $f(\lambda)=m(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{r_k}$, 其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$ 是 $\mathbb{K}$ 中互異的 $k$ 個數, $r_i\geq 1\,(1\leq i\leq k)$, 試求 $V$ 的所有 $\varphi-$不變子空間.
(iv) 設存在 $V$ 的一組基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$, 使得 $\varphi$ 在這組基下的表示陣為 $\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$, 其中 $A=F(g(\lambda))$, $B=F(h(\lambda))$ 是對應於 $\mathbb{K}$ 上兩個首一不可約多項式 $g(\lambda),h(\lambda)$ 的 Frobenius 塊 (也就是友陣的轉置), $C$ 是左下角那個元素為 $1$, 其余元素為 $0$ 的矩陣. 試求 $V$ 的所有 $\varphi-$不變子空間.
(v) 設 $f(\lambda)=m(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}P_2(\lambda)^{r_2}\cdots P_k(\lambda)^{r_k}$, 其中 $P_1(\lambda),P_2(\lambda),\cdots,P_k(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互異的首一不可約多項式, $r_i\geq 1\,(1\leq i\leq k)$, 試求 $V$ 的所有 $\varphi-$不變子空間.
[問題2017S10] 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 證明: $\varphi$ 的極小多項式在 $\mathbb{K}$ 上無重因式的充要條件是對 $V$ 的任一 $\varphi-$不變子空間 $U$, 均存在 $\varphi-$不變子空間 $W$, 使得 $V=U\oplus W$.
注: 本題是教材復習題七的第 24 題或白皮書的例 7.15 從復數域 $\mathbb{C}$ 到一般數域 $\mathbb{K}$ 上的推廣.
[問題2017S11] 設 $f(z)$ 是收斂半徑為 $+\infty$ 的復冪級數, $A\in M_n(\mathbb{C})$, $g(\lambda)=\det(f(\lambda)I_n-f(A))$, 證明: $g(A)=0$.
[問題2017S12] 設 $A$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, $B$ 為 $n$ 階實方陣, 使得 $\begin{pmatrix} A & B' \\ B & A^{-1} \end{pmatrix}$ 為半正定陣, 證明: $B$ 的特征值都落在復平面上的單位圓內 (包含邊界).
[問題2017S13] 設 $A,B$ 均為 $n$ 階半正定實對稱陣, 滿足 $\mathrm{tr}(AB)=0$, 求證: $AB=0$.
注 本題是白皮書第 459 頁的例 9.57, 請不要用實對稱陣的正交相似標准型理論 (第九章內積空間的內容) 進行證明, 而直接利用半正定陣的基本性質 (第八章二次型的內容) 進行證明.
[問題2017S14] 設 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 個互異的正實數, 試用兩種方法證明: $n$ 階實對稱陣 $A=(a_{ij})$ 是正定陣, 其中 $a_{ij}=\dfrac{1}{a_i+a_j}$.
[問題2017S15] 設 $A$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)'$, $f(x)=x'Ax$ 為對應的實二次型. 設去掉 $A$ 的 第 $i$ 行和第 $i$ 列后的主子陣為 $A_i$, 證明: $f(x)$ 在 $x_i=1$ 的條件下的最小值為 $\dfrac{|A|}{|A_i|}$, $1\leq i\leq n$.
[問題2017S16] 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, 證明: $A$ 為正定陣 (半正定陣) 的充要條件是 $$c_r=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix}i_1\,\,i_2\,\,\cdots\,\,i_r \\i_1\,\,i_2\,\,\cdots\,\,i_r \end{pmatrix}>0\,\,(\geq 0),\,\,\,\,r=1,2,\cdots,n.$$
[問題2017S17] 設 $A$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, $\alpha,\beta$ 是 $n$ 維實列向量, 證明: $(\alpha'\beta)^2\leq(\alpha'A\alpha)(\beta'A^{-1}\beta)$, 等號成立當且僅當 $A\alpha$ 與 $\beta$ 成比例.
注 白皮書的例 9.51 是加法版本, 本題是乘法版本.
[問題2017S18] 設 $A$ 為 $n$ 階復矩陣, $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$ 是 $-\dfrac{\mathrm{i}}{2}(A-\overline{A}')$ 的全體特征值, 證明: 對 $A$ 的任一特征值 $\lambda$, 有 $\lambda_1\leq\mathrm{Im\,}\lambda\leq\lambda_n$.
注 白皮書的例 9.48 是實部版本, 本題是虛部版本.