本學期的高等代數每周一題活動計划從第1教學周開始，到第15教學周結束，每周的周末公布1道思考題（共18道，思考題一般與下周授課內容密切相關），供大家思考和解答。每周一題將通過“高等代數官方博客”（以博文的形式）和“高等代數在線課程21級課群”（以課群話題的形式）這兩個渠道同時發布。有興趣的同學可以將每周一題的解答寫在紙上，用手機APP掃描或用手機拍照（注意清晰度，且圖片像素不宜過高），並將解答圖片上傳到每周一題對應的課群話題中。本人會定期對每周一題的解答進行批改和評價，並將優秀解答標記出來推薦給全班同學。
[問題2022S01] 設 $x_1,\cdots,x_n$, $y_1,\cdots,y_m$ 都是未定元, $$f(x)=(x-x_1)\cdots(x-x_n)=x^n-\sigma_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^n\sigma_n,$$ $$g(x)=(x-y_1)\cdots(x-y_m)=x^m-\tau_1x^{m-1}+\cdots+(-1)^m\tau_m,$$ 其中 $\sigma_1,\cdots,\sigma_n$ 是 $x_1,\cdots,x_n$ 的初等對稱多項式, $\tau_1,\cdots,\tau_m$ 是 $y_1,\cdots,y_m$ 的初等對稱多項式. 設 $R(f,g)$ 是多項式 $f(x)$ 與 $g(x)$ 的結式 (參考復旦高代教材定義 5.10.1), 則 $R(f,g)$ 是關於 $x_1,\cdots,x_n$, $y_1,\cdots,y_m$ 的多元多項式. 請用行列式求值的“求根法” (參考習題課教學視頻高代1第7講) 證明:
$$R(f,g)=\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^m(x_i-y_j).$$
注 由本題可得到復旦高代教材定理 5.10.2 的另一證明.
[問題2022S02] 求下列 $n+1$ 階方陣 $A$ 的特征值和特征向量:
$$A=\begin{pmatrix} n & -n & & & \\ 1 & n-2 & 1-n & & \\ & 2 & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & -1 \\ & & & n & -n \\ \end{pmatrix}.$$
[問題2022S03] 設 $n$ 階復方陣 $A,B$ 滿足 $A+B=AB$, 求證: $A$ 的特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ 和 $B$ 的特征值 $\mu_1,\cdots,\mu_n$ 經過適當的排序后, 可滿足 $\lambda_i+\mu_i=\lambda_i\mu_i\,(1\leq i\leq n)$. 特別地, $A$ 是冪零陣當且僅當 $B$ 是冪零陣.
[問題2022S04] 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, 則存在非異陣 $P$, 使得 $$P^{-1}AP=\begin{pmatrix} \lambda_1 & * & \cdots & * \\ & \lambda_2 & \cdots & * \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & \lambda_n \\ \end{pmatrix}.$$ 可取到復數 $c_1,c_2,\cdots,c_n$, 使得當 $0<t\ll 1$ 時, $\lambda_1+c_1t$, $\lambda_2+c_2t$, $\cdots$, $\lambda_n+c_nt$ 互不相同. 令 $$A_t=P\begin{pmatrix} \lambda_1+c_1t & * & \cdots & * \\ & \lambda_2+c_2t & \cdots & * \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & \lambda_n+c_nt \\ \end{pmatrix}P^{-1},$$ 則當 $0<t\ll 1$ 時, $A_t$ 有 $n$ 個不同的特征值 (於是可對角化), 並且 $\lim\limits_{t\to 0+}A_t=A$, 這就是矩陣 $A$ 的可對角化攝動. 請用上述攝動法 (不用 Kronecker 積) 求 $V=M_{m\times n}(\mathbb{C})$ 上的線性變換 $\varphi$ 的特征值, 其中 $A\in M_m(\mathbb{C})$ 的特征值為 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$, $B\in M_n(\mathbb{C})$ 的特征值為 $\mu_1,\cdots,\mu_n$:
(1) $\varphi(X)=AXB$;
(2) $\varphi(X)=AX-XB$.
[問題2022S05] 求證下列三對角矩陣可對角化:
$$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & & & & \\ n-1 & 0 & 2 & & & \\ & n-2 & 0 & 3 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & n-1 \\ & & & & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}.$$
[問題2022S06] 設 $A,B$ 分別是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $m,n$ 階矩陣, 它們在復數域 $\mathbb{C}$ 中有公共的特征值. 證明: 存在非零矩陣 $C\in M_{m\times n}(\mathbb{K})$, 使得 $AC=CB$.
[問題2022S07] 設 $A$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階矩陣, 其特征多項式等於極小多項式, 證明: 矩陣方程 $XA=A'X$ 的解是 $\mathbb{K}$ 上的對稱陣.
[問題2022S08] 設 $V$ 為 $n$ 階復方陣全體構成的線性空間, $V$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\varphi(X)=AX-XA$, 其中 $A\in V$. 證明: $\varphi$ 可對角化的充要條件是 $A$ 可對角化.
注 本題是第二屆全國大學生數學競賽決賽某道代數試題的推廣.
[問題2022S09] 設 $V$ 為 $n$ 階復方陣全體構成的線性空間, $V$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\varphi(X)=JXJ$, 其中 $J=J_n(0)$ 是特征值為 $0$ 的 $n$ 階 Jordan 塊. 試求 $\varphi$ 的 Jordan 標准型.
[問題2022S10] 設 $a$ 為實數, 求下列 $n$ 階實對稱陣的正負慣性指數:
$$A=\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 & \cdots & a^{n-1} \\ a & 1 & a & \cdots & a^{n-2} \\ a^2 & a & 1 & \cdots & a^{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}.$$
[問題2022S11] 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, $B=(b_{ij})$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣且主對角元全大於零, 證明: Hadamard 乘積 $A\circ B=(a_{ij}b_{ij})$ 是正定實對稱陣.
注 本題是高代白皮書例 8.23 的推廣.
[問題2022S12] 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, $B$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, 滿足 $|A+\mathrm{i}B|=0$. 求證: 存在 $n$ 維非零實列向量 $\alpha$, 使得 $A\alpha=B\alpha=0$.
注 本題是復旦大學數學學院21級高等代數 I 期末考試第八大題的推廣.
[問題2022S13] 設實二次型 $f(x)=x'Ax$, 其中 $n$ 階實矩陣 $A$ 未必對稱且 $|A|<0$. 求證: 存在實數 $a_1,a_2,\cdots,a_n$, 使得 $f(a_1,a_2,\cdots,a_n)<0$.
注 本題是高代白皮書例8.19的推廣, 可用高代白皮書例8.31的半正定版本.
[問題2022S14] 設 $A,B$ 都是 $n$ 階半正定實對稱陣, 求證: $\dfrac{1}{n}\mathrm{tr}(AB)\geq |A|^{\frac{1}{n}}|B|^{\frac{1}{n}}$, 並求等號成立的充要條件.
注 可用高代白皮書例8.34的半正定版本, 或可用實對稱陣的正交相似標准型.
[問題2022S15] 證明: $n$ 維歐氏空間 $V$ 中, 兩兩夾角大於直角的向量個數至多是 $n+1$ 個, 並舉例說明能取到 $n+1$ 個這樣的向量.
[問題2022S16] 請將 [問題2021A06] 中的一一對應推廣到 $n$ 階酉陣和 $n$ 階斜 Hermite 陣的情形 (只寫結論, 不用證明), 並用酉陣和斜 Hermite 陣的酉相似標准型理論說明這個一一對應的本質.
[問題2022S17] 設 $A,B$ 為 $n$ 階實方陣, 其中 $A$ 的 $n$ 個特征值都是正實數, 並且滿足 $AB+BA'=2AA'$. 證明:
(1) $B$ 必為對稱陣;
(2) $A$ 為對稱陣當且僅當 $A=B$, 也當且僅當 $\mathrm{tr}(B^2)=\mathrm{tr}(AA')$;
(3) $|B|\geq |A|$, 等號成立當且僅當 $A=B$.
注 本題是復旦大學數學學院20級高代I期中考試第七大題的推廣.
[問題2022S18] 設 $A$ 為 $n$ 階實方陣, 證明: $\mathrm{tr}(A)^2\leq\mathrm{r}(A)\cdot\mathrm{tr}(A'A)$, 並求等號成立的充要條件.
注 利用 $A$ 的奇異值分解.