七、(本題10分) 證明: 存在 $71$ 階實方陣 $A$, 使得 $$A^{70}+A^{69}+\cdots+A+I_{71}=\begin{pmatrix} 2019 & 2018 & \cdots & \cdots & 1949 \\ & 2019 & 2018 & \cdots & 1950 \\ & & 2019 & \cdots & 1951 \\ & & \qquad\ddots & \qquad\ddots & \vdots \\ & & & \,\,\,\,\ddots & 2018 \\ & & & & 2019 \\ \end{pmatrix}.$$
證明 記 $f(x)=x^{70}+x^{69}+\cdots+x+1$, 上述等式右邊的矩陣為 $B$. 注意到 $f(1)<2019$ 和 $f(2)>2019$, 故由連續函數的性質可知, $f(x)=2019$ 在開區間 $(1,2)$ 中必有一實根 $\lambda_0$. 將 Jordan 塊 $J_{71}(\lambda_0)$ 代入 $f(x)$ 中, 經計算可得 $$f(J_{71}(\lambda_0))=\begin{pmatrix} f(\lambda_0) & f'(\lambda_0) & \cdots & \cdots & \dfrac{1}{70!}f^{(70)}(\lambda_0) \\ & f(\lambda_0) & f'(\lambda_0) & \cdots & \vdots \\ & & f(\lambda_0) & \cdots & \vdots \\ & & \qquad\ddots & \qquad\ddots & \vdots \\ & & & \,\,\,\,\ddots & f'(\lambda_0) \\ & & & & f(\lambda_0) \\ \end{pmatrix},$$ 這是一個上三角陣, 主對角元全為 $f(\lambda_0)=2019$, 上次對角元全為 $f'(\lambda_0)>0$, 從而 $f(J_{71}(\lambda_0))$ 的特征值全為 $2019$, 其幾何重數為 $71-r(f(J_{71}(\lambda_0))-2019I_{71})=1$. 因此, $f(J_{71}(\lambda_0))$ 的 Jordan 標准型中只有一個 Jordan 塊 $J_{71}(2019)$, 即 $f(J_{71}(\lambda_0))$ 相似於 $J_{71}(2019)$.
另一方面, 矩陣 $B$ 也是一個上三角陣, 主對角元全為 $2019$, 上次對角元全為 $2018$, 從而 $B$ 的特征值全為 $2019$, 其幾何重數為 $71-r(B-2019I_{71})=1$. 因此, $B$ 的 Jordan 標准型中只有一個 Jordan 塊 $J_{71}(2019)$, 即 $B$ 也相似於 $J_{71}(2019)$.
由於矩陣的相似在基域擴張下不改變 (參考高代教材推論 7.6.5), 故 $f(J_{71}(\lambda_0))$ 和 $B$ 在實數域上相似, 即存在非異實矩陣 $P$, 使得 $B=P^{-1}f(J_{71}(\lambda_0))P=f(P^{-1}J_{71}(\lambda_0)P)$. 令 $A=P^{-1}J_{71}(\lambda_0)P$, 則 $A$ 是實矩陣, 並滿足 $f(A)=B$. $\Box$
注 1 本題是祖國 70 華誕獻禮題. 祝願我們偉大的祖國繁榮昌盛、蒸蒸日上!
注 2 本題完全做出 (得分在8分以上) 的同學為: 丁思成, 周爍星, 顧文顥, 封清, 張思哲, 葉雨陽, 黃澤松, 鄔正千, 王捷翔 (17級), 鄒年軼 (17級), 林潔 (17級), 張舒益 (17級), 陳欽品 (17級), 吳彥橋 (17級), 劉天航 (17級), 陳柯嶼 (17級), 王祝斌 (17級).