七、(10分) 設 $V$ 為 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, $V=U\oplus W$, 其中 $U,W$ 都是 $\varphi$-不變子空間. 證明:
(1) 對任意的正整數 $k$, $\varphi^{-k}(U):=\{v\in V\mid \varphi^k(v)\in U\}$ 和 $\varphi^k(W):=\{\varphi^k(w)\mid w\in W\}$ 都是 $\varphi$-不變子空間;
(2) 存在正整數 $m$, 使得對任意的 $k\geq m$, $\varphi^{-k}(U)=\varphi^{-m}(U)$, $\varphi^k(W)=\varphi^m(W)$, 並且 $V=\varphi^{-m}(U)\oplus\varphi^m(W)$.
證明 (1) 容易驗證 $\varphi^{-k}(U)$ 和 $\varphi^k(W)$ 都是 $V$ 的子空間. 任取 $v\in\varphi^{-k}(U)$, 即 $\varphi^k(v)\in U$, 由於 $U$ 是 $\varphi$-不變子空間, 故 $\varphi\big(\varphi^k(v)\big)\in U$, 從而 $$\varphi^k\big(\varphi(v)\big)=\varphi^{k+1}(v)=\varphi\big(\varphi^k(v)\big)\in U,$$ 即 $\varphi(v)\in\varphi^{-k}(U)$, 從而 $\varphi^{-k}(U)$ 是 $\varphi$-不變子空間. 注意到上式也告訴我們: $\varphi^{k+1}(v)\in U$, 即 $v\in\varphi^{-(k+1)}(U)$, 從而有子空間的包含關系: $\varphi^{-k}(U)\subseteq\varphi^{-(k+1)}(U)$. 任取 $v=\varphi^k(w)\in\varphi^k(W)$, 其中 $w\in W$, 由於 $W$ 是 $\varphi$-不變子空間, 故 $\varphi(w)\in W$, 從而 $$\varphi(v)=\varphi(\varphi^k(w))=\varphi^{k+1}(w)=\varphi^k(\varphi(w))\in\varphi^k(W),$$ 即 $\varphi^k(W)$ 是 $\varphi$-不變子空間. 注意到上式也告訴我們: $\varphi^{k+1}(w)\in\varphi^k(W)$, 從而有子空間的包含關系: $\varphi^{k+1}(W)\subseteq\varphi^k(W)$.
(2.1) 由上面的討論可知, 存在 $\varphi$-不變子空間的如下包含關系: $$U\subseteq\varphi^{-1}(U)\subseteq\varphi^{-2}(U)\subseteq\cdots\subseteq V,\quad W\supseteq\varphi(W)\supseteq\varphi^2(W)\supseteq\cdots\supseteq 0,$$ 從而有維數的不等式: $$\dim U\leq\dim\varphi^{-1}(U)\leq\dim\varphi^{-2}(U)\leq\cdots\leq\dim V,\\ \dim W\geq\dim\varphi(W)\geq\dim\varphi^2(W)\geq\cdots\geq 0.$$ 注意到遞增和遞減的整數 (子空間維數) 數列夾在兩個有限區間里, 故它們不能有無限次嚴格遞增和無限次嚴格遞減的情況出現, 因此存在正整數 $m$, 使得對任意的 $k\geq m$, $\dim\varphi^{-k}(U)=\dim\varphi^{-m}(U)$, $\dim\varphi^k(W)=\dim\varphi^m(W)$, 即從指標 $m$ 開始, 兩類子空間的維數都保持不變了, 再由子空間的包含關系即得: 對任意的 $k\geq m$, $\varphi^{-k}(U)=\varphi^{-m}(U)$, $\varphi^k(W)=\varphi^m(W)$.
證法一 我們按照直和的定義, 分兩步來證明 $V=\varphi^{-m}(U)\oplus\varphi^m(W)$.
(2.2) 先證 $\varphi^{-m}(U)\cap\varphi^m(W)=0$. 任取 $v\in\varphi^{-m}(U)\cap\varphi^m(W)$, 即存在 $w\in W$, 使得 $v=\varphi^m(w)$ 且 $\varphi^m(v)=\varphi^{2m}(w)\in U$, 於是 $w\in\varphi^{-2m}(U)=\varphi^{-m}(U)$, 故有 $v=\varphi^m(w)\in U\cap W=0$, 從而 $v=0$. 還有另一種證明方法. 將線性變換 $\varphi^m:V\to V$ 限制在 $\varphi^m(W)$ 上, 得到線性映射 $\varphi^m_1:\varphi^m(W)\to\varphi^{2m}(W)$, 這是一個滿射. 又由 (2.1) 可知 $\varphi^m(W)=\varphi^{2m}(W)$, 從而 $\varphi^m_1$ 是一個線性同構. 注意到在上面的討論中, $\varphi^m(v)=\varphi^{2m}(w)\in U\cap W=0$, 從而 $\varphi^m_1(\varphi^m(w))=\varphi^{2m}(w)=0$, 於是 $v=\varphi^m(w)=0$.
(2.3) 再證 $V=\varphi^{-m}(U)+\varphi^m(W)$. 任取 $v\in V$, 設 $v=u+w$, 其中 $u\in U$, $w\in W$, 則 $\varphi^m(v-u)=\varphi^m(w)\in\varphi^m(W)=\varphi^{2m}(W)$, 即存在 $w_1\in W$, 使得 $\varphi^m(v-u)=\varphi^{2m}(w_1)$, 即 $\varphi^m(v-u-\varphi^m(w_1))=0$. 令 $u_1=v-u-\varphi^m(w_1)$, 則 $u_1\in\mathrm{Ker}\varphi^m\subseteq\varphi^{-m}(U)$, 從而 $v=(u+u_1)+\varphi^m(w_1)\in\varphi^{-m}(U)+\varphi^m(W)$.
證法二 我們可以用維數公式去替代上面的 (2.2) 或 (2.3) 來證明直和, 但這個維數公式並非顯然, 需要嚴格的證明.
(2.4) 證明 $\dim V=\dim\varphi^{-m}(U)+\dim\varphi^m(W)$. 將線性變換 $\varphi^m: V\to V$ 限制在 $\varphi^{-m}(U)$ 上, 得到線性映射 $\varphi^m_2:\varphi^{-m}(U)\to U$. 注意到 $\mathrm{Ker}\varphi^m_2=\mathrm{Ker}\varphi^m$, $\mathrm{Im}\varphi^m_2=U\cap\mathrm{Im}\varphi^m$, 從而由線性映射的維數公式可得 $$\dim\varphi^{-m}(U)=\dim\mathrm{Ker}\varphi^m+\dim(U\cap\mathrm{Im}\varphi^m).\cdots\cdots(*)$$ 由於 $\varphi^m(U)\subseteq U$, $\varphi^m(W)\subseteq W$, 故 $\varphi^m(U)\cap\varphi^m(W)\subseteq U\cap W=0$, 即 $\varphi^m(U)\cap\varphi^m(W)=0$, 從而 $$\mathrm{Im}\varphi^m=\varphi^m(V)=\varphi^m(U)+\varphi^m(W)=\varphi^m(U)\oplus\varphi^m(W).\cdots\cdots(\dagger)$$ 由於 $$U\cap\mathrm{Im}\varphi^m=U\cap(\varphi^m(U)+\varphi^m(W))=\varphi^m(U)+U\cap\varphi^m(W)=\varphi^m(U),$$ 故由 $(\dagger)$ 式可得 $$\dim(U\cap\mathrm{Im}\varphi^m)=\dim\varphi^m(U)=\dim\mathrm{Im}\varphi^m-\dim\varphi^m(W).\cdots\cdots(\sharp)$$ 由 $(*)$ 和 $(\sharp)$ 兩式, 再利用 $\varphi^m$ 的維數公式即可得證.
證法三 我們也可以直接證明 $V=\varphi^{-m}(U)\oplus\varphi^m(W)$. 將線性變換 $\varphi:V\to V$ 限制在不變子空間 $W$ 上, 得到線性變換 $\varphi_1:W\to W$. 由高代白皮書例 4.33 的結論可知: 存在正整數 $m$, 使得對任意的 $k\geq m$, $\mathrm{Ker}\varphi^k_1=\mathrm{Ker}\varphi^m_1$, $\mathrm{Im}\varphi^k_1=\mathrm{Im}\varphi^m_1$, 且 $W=\mathrm{Ker}\varphi^m_1\oplus\mathrm{Im}\varphi^m_1$. 注意到 $\mathrm{Im}\varphi^m_1=\varphi^m(W)$, 又由定義容易驗證 $U+\mathrm{Ker}\varphi^m_1\subseteq\varphi^{-m}(U)$, 故 $$V=U\oplus W=U\oplus\mathrm{Ker}\varphi^m_1\oplus\varphi^m(W)\subseteq\varphi^{-m}(U)+\varphi^m(W)\subseteq V.$$ 因此上述包含關系只能取等號, 即有 $U+\mathrm{Ker}\varphi^m_1=\varphi^{-m}(U)$ 以及 $V=\varphi^{-m}(U)\oplus\varphi^m(W)$. $\Box$
注 (1) 當 $U=0$, $W=V$ 時, 本題就是高代白皮書的例 4.33. 因此, 本題及其證法一和證法二就是高代白皮書的例 4.33 及其證明的推廣, 大家可以仔細比較兩者之間的類似之處. 第 2 小問的 $m$ 可以取到更加精細的值 (像高代白皮書的例 4.32 那樣利用抽屜原理來討論), 但就本題的結論而言, 並不需要這么精細的討論.
(2) 采用證法一並且得分在7分以上的同學共20人, 分別為: 厲茗、張冀、蔣安、陳河、夏偉淳、錢東箭、盛志軒、佟佳新、俞姚琳、劉子為、黃尹燦、葉晨、李玥澤、譚依凡、張開潤、尤淇正、張若沖、曹文景、劉思科、王雨萌.
(3) 采用證法二並且得分在7分以上的同學共6人, 分別為: 卞詩瑞、陳建翔、蘇傳恆、吳強、李子灝、朱依寧.
(4) 若取 $U,W$ 的一組基並拼成 $V$ 的一組基, 則 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為分塊對角陣 $\mathrm{diag}\{A,B\}$. 因此, 整個證法三有完全對應的代數證法, 或者也可以用上述基向量直接證明直和分解. 采用證法三 (包括代數證法) 並且得分在7分以上的同學共5人, 分別為: 金李洋 (10分)、朱軼磊 (10分)、陳志恆、鄒思遠、孫進.