七、(10分) 設數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n\geq 2)$ 階方陣 $A,B$ 滿足 $AB=0$ 且 $\mathrm{tr}(A^*)=0$, 證明: $A^*B=0$ ...

六、(10分) 設 $n\,(n>1)$ 階方陣 $A$ 滿足: 每行元素之和都等於 $c$, 並且 $|A|=d\neq 0$. 試求 $A$ 的所有代數余子式之和 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$. 解法一 (矩陣性質) 設 $\alpha=(1,1 ...

八、(10分) 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n\,(n>1)$ 階實對稱陣, 滿足: 每行元素之和都等於零, 並且非主對角元素都小於等於零. 設指標集 $\Gamma=\{1,2,\cdots,n\}$, 兩個指標 $i\neq j$ 稱為連通的, 如果存在一列指標 $i=i ...

七、(本題10分) 設 $V$ 為 $n$ 維線性空間, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi\psi=\varphi$. 證明: $\mathrm{Ke ...

八、(10分) 設 $n$ 階復方陣 $M$ 的全體特征值為 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 則 $M$ 的譜半徑 $\rho(M)$ 定義為 $\rho(M)=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|$. 設 ...

七、(本題10分) 設 $U,V,W$ 均為數域 $K$ 上的非零線性空間, $\varphi:V\to U$ 和 $\psi:U\to W$ 是線性映射, 滿足 $r(\psi\varphi)=r ...

七、（本題10分）設 \(A\) 為數域 \(K\) 上的 \(n\) 階非異陣, 證明: 對任意的對角陣 \(B\in M_n(K)\), \(A^{-1}BA\) 均為對角陣的充分必要條件是 \(A=P_1P_2\cdots P_r\), 其中 \(P_i\) 均為第一類初等陣 (即對 ...

七、(10分) 設 $A$ 為數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n>1)$ 階方陣, $r(A)=n-1$, $A^*$ 是 $A$ 的伴隨矩陣. 記齊次線性方程組 $Ax=0$ ...