七、(10分) 設 $A$ 為數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n>1)$ 階方陣, $r(A)=n-1$, $A^*$ 是 $A$ 的伴隨矩陣. 記齊次線性方程組 $Ax=0$ 的解空間為 $V_A$, $A^*x=0$ 的解空間為 $V_{A^*}$. 證明: $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$ 成立的充要條件是 $\mathrm{tr}(A^*)\neq 0$.
證明 由 $r(A)=n-1$ 可知 $\dim V_A=n-(n-1)=1$, 即線性方程組 $Ax=0$ 的基礎解系只含一個向量. 由 $|A|=0$ 可知 $AA^*=|A|I_n=O$, 即 $A^*$ 的任一列向量都屬於 $V_A$. 又不妨設 $A$ 的某個代數余子式 $A_{ij}\neq 0$, 則 $A^*$ 的第 $i$ 列 $\alpha=(A_{i1},\cdots,A_{ij},\cdots,A_{in})'\neq 0$, 於是 $V_A=L(\alpha)$ 並且 $A^*$ 的列向量成比例, 從而 $r(A^*)=1$ 且存在非零列向量 $\beta$, 使得 $A^*=\alpha\beta'$. 因此 $\dim V_{A^*}=n-1$.
下面用兩種方法來證明結論.
證法 1 首先, 由矩陣跡的交換性可得
$$\mathrm{tr}(A^*)=\mathrm{tr}(\alpha\beta')=\mathrm{tr}(\beta'\alpha)=\beta'\alpha.$$
其次, 我們斷言 $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$ $\Leftrightarrow$ $V_A\cap V_{A^*}=0$. 必要性是顯然的, 下證充分性. 若 $V_A\cap V_{A^*}=0$, 則 $\dim(V_A\oplus V_{A^*})=\dim V_A+\dim V_{A^*}=1+(n-1)=n=\dim\mathbb{K}^n$, 於是 $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$. 最后, 注意到 $\alpha\neq 0$, $V_A=L(\alpha)$ 並且
$$A^*\alpha=(\alpha\beta')\alpha=\alpha(\beta'\alpha)=(\beta'\alpha)\alpha=\mathrm{tr}(A^*)\alpha,$$
故 $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$ $\Leftrightarrow$ $V_A\cap V_{A^*}=0$ $\Leftrightarrow$ $\alpha\not\in V_{A^*}$ $\Leftrightarrow$ $0\neq A^*\alpha=\mathrm{tr}(A^*)\alpha$ $\Leftrightarrow$ $\mathrm{tr}(A^*)\neq 0$.
證法 2 注意到 $\alpha=(A_{i1},\cdots,A_{ij},\cdots,A_{in})'$, 若設 $\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)'$, 其中 $b_i=1$, 則由 $A^*=\alpha\beta'$ 可得 $A_{kl}=b_kA_{il}\,(1\leq k,l\leq n)$, 於是
$$\mathrm{tr}(A^*)=A_{11}+A_{22}+\cdots+A_{nn}=b_1A_{i1}+b_2A_{i2}+\cdots+b_nA_{in}.$$
設 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$ 為列分塊, 由 $r(A)=n-1$, $A_{ij}\neq 0$ 和截短向量的性質 (高代白皮書的例 3.12) 可知 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n$ 是 $A$ 的列向量的極大無關組. 由 $A^*A=|A|I_n=O$ 可知 $A$ 的列向量都屬於 $V_{A^*}$, 又 $\dim V_{A^*}=n-1$, 故 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n$ 是 $V_{A^*}$ 的一組基. 顯然 $\alpha$ 是 $V_A$ 的一組基, 計算如下行列式 (按第 $j$ 列展開):
$$|\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha,\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n|=A_{i1}A_{1j}+A_{i2}A_{2j}+\cdots+A_{in}A_{nj}=A_{ij}(b_1A_{i1}+b_2A_{i2}+\cdots+b_nA_{in})=A_{ij}\mathrm{tr}(A^*),$$
於是 $\mathbb{K}^n=V_A\oplus V_{A^*}$ $\Leftrightarrow$ $V_{A^*}$ 的一組基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n$ 和 $V_A$ 的一組基 $\alpha$ 可以拼成 $\mathbb{K}^n$ 的一組基 $\Leftrightarrow$ $|\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha,\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n|=A_{ij}\mathrm{tr}(A^*)\neq 0$ $\Leftrightarrow$ $\mathrm{tr}(A^*)\neq 0$. $\Box$
注 1 本題開始部分的討論源於高代白皮書的例 3.76. 證法 1 的主要思路是利用秩等於 1 的矩陣的運算性質 (參考高代白皮書的例 2.10 和例 2.11). 證法 2 的主要思路是計算兩個解空間的一組基拼成矩陣的行列式. 其實, 我們還有證法 3, 就是聯立兩個線性方程組 $Ax=0$, $A^*x=0$ 來求公共解, 可以將 $A,A^*$ 的行向量的極大無關組拼成矩陣, 然后計算其行列式. 證法 3 的證明過程與證法 2 類似, 這里不再贅述, 請感興趣的同學自行完成. 下面是本題的一個推廣 (取 $\varphi=A^*$):
推廣 設 $\varphi$ 是 $n\,(n>1)$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 且 $r(\varphi)=1$, 證明: $\varphi$ 的極小多項式 $m(\lambda)=\lambda(\lambda-\mathrm{tr}(\varphi))$, 並且下面三個結論等價:
(i) $\mathrm{tr}(\varphi)\neq 0$;
(ii) $\varphi$ 可對角化;
(iii) $V=\mathrm{Ker}\varphi\oplus\mathrm{Im}\varphi$.
注 2 本題得分在 8 分以上的同學共有 26 人 (排名不分先后): 范一鳴, 陳梁豐藝, 吳孟霖, 賀則喜, 高睿君, 黃昱文, 肖逸航, 王芃淏, 朱熠宸, 張樂祺, 譚紀元, 李子豪, 宋維正, 羅金子, 劉俞辰, 汪含章, 陳驍, 劉騁棟, 張元吉, 侯弋凡, 毛凌旭, 葉澤琳, 何益涵, 袁榕含, 魯萬豐, 楊悅怡.