七、(10分) 設 $A$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, $B,C$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, 使得 $BA^{-1}C$ 為對稱陣. 證明: $$|A|\cdot|A+B+C|\leq |A+B|\cdot|A+C|,$$ 並求等號成立的充要條件.
證法一 由 $A$ 的正定性可知, 存在非異實方陣 $D$, 使得 $D'AD=I_n$, 於是 $A^{-1}=DD'$. 再由 $BA^{-1}C$ 的對稱性可知 $$BA^{-1}C=(BA^{-1}C)'=C'(A')^{-1}B'=CA^{-1}B,$$ 即 $BDD'C=CDD'B$, 於是 $(D'BD)(D'CD)=(D'CD)(D'BD)$, 即 $D'BD,D'CD$ 是兩個乘法可交換的半正定實對稱陣. 由高代白皮書的例 9.107 (乘法可交換的實對稱陣可同時正交對角化) 可知, 存在正交陣 $P$, 使得 $$P'D'BDP=\mathrm{diag}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}=\Lambda_B,\,\,P'D'CDP=\mathrm{diag}\{\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_n\}=\Lambda_C,$$ 其中 $\lambda_i\geq 0$, $\mu_i\geq 0\,(1\leq i\leq n)$, 此時 $P'D'ADP=P'P=I_n$. 在要證不等式的兩邊同時左乘 $|P'D'|^2$, 同時右乘 $|DP|^2$, 等價地只要證明下列不等式成立即可: $$|I_n+\Lambda_B+\Lambda_C|\leq |I_n+\Lambda_B||I_n+\Lambda_C|.$$ 通過簡單的計算可知 \begin{eqnarray*} |I_n+\Lambda_B||I_n+\Lambda_C| &=& \prod\limits_{i=1}^n(1+\lambda_i)(1+\mu_i)=\prod\limits_{i=1}^n(1+\lambda_i+\mu_i+\lambda_i\mu_i) \\ &\geq& \prod\limits_{i=1}^n(1+\lambda_i+\mu_i)=|I_n+\Lambda_B+\Lambda_C|, \end{eqnarray*} 等號成立當且僅當 $\lambda_i\mu_i=0\,(1\leq i\leq n)$, 即當且僅當 $$O=\Lambda_B\Lambda_C=(P'D'BDP)(P'D'CDP)=P'D'(BA^{-1}C)DP,$$ 也即當且僅當 $BA^{-1}C=O$.
證法二 先引用高代白皮書上兩個例題的推論:
引理 1 (白皮書例 9.59 的半正定版) 設 $B,C$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, 若 $BC$ 為對稱陣, 則 $BC$ 是半正定陣.
證明 由 $C$ 的半正定性可知, 存在實方陣 $D$, 使得 $C=D'D$. 再由特征值的降階公式可知, $BC=BD'D$ 與 $DBD'$ 有相同的特征值. 注意到 $DBD'$ 仍為半正定陣, 故其特征值全部非負, 於是實對稱陣 $BC$ 的特征值全部非負, 從而 $BC$ 是半正定陣. 注意到 $BC$ 的對稱性為 $BC=(BC)'=C'B'=CB$, 即 $B,C$ 乘法可交換, 故也可用同時正交對角化來證明上述結論. $\Box$
引理 2 (白皮書例 9.67 的弱化版) 設 $A$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, $B$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, 則 $|A+B|\geq |A|$, 等號成立當且僅當 $B=O$.
證明 由白皮書例 9.67 可知, $|A+B|\geq |A|+|B|$, 等號成立當且僅當 $n=1$ 或者當 $n\geq 2$ 時 $B=O$, 故上述結論成立. $\Box$
將要證的不等式變形為 $$(*)\quad |A+B+C|\leq |A+B|\cdot|A|^{-1}\cdot|A+C|=|A+B+C+BA^{-1}C|.$$ 由 $A$ 的正定性可知, 存在非異實方陣 $D$, 使得 $D'AD=I_n$, 於是 $A^{-1}=DD'$. 再由 $BA^{-1}C$ 的對稱性可知, $D'(BA^{-1}C)D=D'(BDD'C)D=(D'BD)(D'CD)$ 也是對稱陣, 又 $D'BD$, $D'CD$ 都是半正定陣, 故由引理 1 可得 $D'(BA^{-1}C)D$ 是半正定陣, 於是 $BA^{-1}C$ 也是半正定陣. 注意到 $A+B+C$ 是正定陣, 故不等式 $(*)$ 由引理 2 即得, 等號成立當且僅當 $BA^{-1}C=O$. $\Box$
注 1 本題共有 31 位同學得分在 7 分以上, 分別是 (排名不分先后):
證法一: 丁嘉棟, 楊秋安, 於泰來, 許佳敏, 張朔, 謝承翰, 石詠堯, 蔡建棟, 徐贇程, 趙樞目, 梅明家, 屈芷萱, 翟衛翔, 張葉昊, 袁潤澤, 宋明奇, 楊奕辰, 陳思齊, 胡海辰, 張弘毅, 金董新, 王澤田, 陳宏豪, 施昊.
證法二: 韋曉驊, 任禹同, 譚雯兮, 劉繼升, 錢鄧鵬, 陳逸然.
證法三: 袁錦星 (由 $A^{-1}B$ 與 $A^{-1}C$ 的乘法交換性, 利用同時上三角化來證明, 但等號成立的充要條件較難得到, 故從略).
注 2 由於問題的條件和結論在同時合同變換下不改變: $A\mapsto D'AD$, $B\mapsto D'BD$, $C\mapsto D'CD$, 故不妨從一開始就假設 $A=I_n$ 為合同標准型, 此時 $B,C$ 為半正定實對稱陣, 並且 $BC$ 為對稱陣, 即 $BC=(BC)'=C'B'=CB$. 這樣做下去可以大大簡化證明中的記號, 但在得到等號成立的充要條件時, 一定要記得還原到初始的數據才行.
注 3 本題的證法一與復旦大學數學科學學院 2017 級高等代數 II 期末考試第七大題密切相關.