八、(10分) 設 $M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 階復方陣全體構成的線性空間, $M_n(\mathbb{C})$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\varphi(X)=AX'A'$, 其中 $A\in M_n(\mathbb{C})$. 證明: $\varphi$ 可對角化的充要條件是 $A$ 可對角化.
證法一 先證充分性. 設 $A$ 可對角化, 則 $A$ 有 $n$ 個線性無關的特征向量, 設為 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\in\mathbb{C}^n$, 對應的特征值為 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 即有 $A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i\,(1\leq i\leq n)$. 注意到 $$\varphi(\alpha_i\alpha_j')=A(\alpha_i\alpha_j')'A'=(A\alpha_j)(A\alpha_i)'=\lambda_i\lambda_j\alpha_j\alpha_i',$$ 於是 $$(*)\quad\left\{\begin{array}{ll} \varphi(\alpha_i\alpha_i')=\lambda_i^2\alpha_i\alpha_i' & (1\leq i\leq n); \\ \varphi(\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i')=\lambda_i\lambda_j(\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i') & (1\leq i<j\leq n); \\ \varphi(\alpha_i\alpha_j'-\alpha_j\alpha_i')=-\lambda_i\lambda_j(\alpha_i\alpha_j'-\alpha_j\alpha_i') & (1\leq i<j\leq n).\\ \end{array}\right.$$ 令 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\in M_n(\mathbb{C})$, 則 $P$ 為非異陣. 構造線性變換 $\xi:M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C})$, $\xi(X)=PXP'$, 由 $P$ 的非異性可知 $\xi$ 是線性同構. 設 $E_{ij}\,(1\leq i,j\leq n)$ 為基礎矩陣, 則容易驗證 $\{E_{ii}\,(1\leq i\leq n);\,E_{ij}+E_{ji}\,(1\leq i<j\leq n);\,E_{ij}-E_{ji}\,(1\leq i<j\leq n)\}$ 是 $M_n(\mathbb{C})$ 的一組基, 並且 $\xi(E_{ii})=\alpha_i\alpha_i'$, $\xi(E_{ij}+E_{ji})=\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'$, $\xi(E_{ij}-E_{ji})=\alpha_i\alpha_j'-\alpha_j\alpha_i'$, 於是 $\{\alpha_i\alpha_i'\,(1\leq i\leq n);\,\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'\,(1\leq i<j\leq n);\,\alpha_i\alpha_j'-\alpha_j\alpha_i'\,(1\leq i<j\leq n)\}$ 也是 $M_n(\mathbb{C})$ 的一組基. 因此, $(*)$ 式表明 $\varphi$ 有 $n^2$ 個線性無關的特征向量, 從而 $\varphi$ 可對角化.
再證必要性. 設 $\varphi$ 可對角化, 用反證法, 設 $A$ 不可對角化, 則存在非異陣 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$, 使得 $P^{-1}AP=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\}$ 為 Jordan 標准型, 並且至少有一個 Jordan 塊的階數大於 1. 不妨設 $r_1>1$, 則有如下關系式: $$A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1,\,\,A\alpha_2=\alpha_1+\lambda_1\alpha_2,\,\,\cdots,\,\,A\alpha_{r_1}=\alpha_{r_1-1}+\lambda_1\alpha_{r_1}.$$ 令 $U=L(\alpha_i\alpha_i'\,(1\leq i\leq r_1),\,\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'\,(1\leq i<j\leq r_1))$, 則容易驗證 $U$ 是 $\varphi$-不變子空間, 於是 $\varphi|_U$ 可對角化. 注意到 $\{\alpha_i\alpha_i'\,(1\leq i\leq r_1),\,\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'\,(1\leq i<j\leq r_1)\}$ 是 $U$ 的一組基, 在適當地調整基向量的次序后 (見注 2), 可得 $\varphi|_U$ 在這組基下的表示矩陣為上三角陣, 其主對角元素全為 $\lambda_1^2$, 並且主對角線上方至少有一個非零元素 1, 顯然這是一個不可對角化的矩陣, 這與 $\varphi|_U$ 可對角化矛盾.
證法二 構造線性變換 $\psi:M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C})$, $\psi(X)=AXA'$, 我們來證明 $\varphi$ 可對角化當且僅當 $\psi$ 可對角化. 設 $V$ 是由 $n$ 階復對稱陣構成的子空間, $U$ 是由 $n$ 階復反對稱陣構成的子空間, 由白皮書的例 3.48 可知 $M_n(\mathbb{C})=V\oplus U$. 容易驗證 $U,V$ 都是 $\varphi$-不變以及 $\psi$-不變子空間, 並且 $\varphi|_V=\psi|_V$, $\varphi|_U=-\psi|_U$, 因此 $\varphi$ 可對角化當且僅當 $\varphi|_V,\varphi|_U$ 均可對角化, 這也當且僅當 $\psi|_V,\psi|_U$ 均可對角化, 從而當且僅當 $\psi$ 可對角化.
證明 $\psi$ 可對角化的充要條件是 $A$ 可對角化, 這是復旦大學數學科學學院 2016 級高等代數 II 期中考試第七大題. 我們可以利用特征向量的方法 (類似於上面的證法一), 也可以利用矩陣 Kronecker 積的方法來進行證明, 具體的證明細節請參考“復旦大學高等代數習題課在線課程”中的高代 2 第 11 講以及高代 2 第 16 講, 這里不再贅述. $\Box$
注 1 本題沒有同學證出必要性, 證出充分性的同學共有 10 人, 分別是: 徐贇程, 梅明家, 許佳敏, 錢鄧鵬, 楊奕辰, 於泰來, 韋曉驊, 丁嘉棟, 李沐擇, 劉繼升.
注 2 為方便起見, 記基向量 $\alpha_i\alpha_i'$ 為 $(i)$, $\alpha_i\alpha_j'+\alpha_j\alpha_i'$ 為 $(i,j)$, 則可將基向量的次序調整為 $$(1),\,(1,2),\,(2),\,(1,3),\,(2,3),\,(3),\,\cdots,\,(r-1),\,(1,r),\,(2,r),\,(3,r),\,\cdots,\,(r-1,r),\,(r).$$ 例如, 當 $r_1=3$ 時, $\varphi$ 在上述順序的基向量下的表示矩陣為 $$\begin{pmatrix} \lambda_1^2 & 2\lambda_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ & \lambda_1^2 & \lambda_1 & \lambda_1 & 1 & 0 \\ & & \lambda_1^2 & 0 & 2\lambda_1 & 1 \\ & & & \lambda_1^2 & \lambda_1 & 0 \\ & & & & \lambda_1^2 & \lambda_1 \\ & & & & & \lambda_1^2 \\ \end{pmatrix}.$$