八、(10分) 設 $A,C$ 為 $n$ 階實對稱陣, $B$ 為 $n$ 階實方陣, $D=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,\cdots,d_n\}$, $d_i>0\,(1\leq i\leq n)$, 滿足: $$\begin{vmatrix} \mathrm{i}A+D & \mathrm{i}B \\ B' & C \\ \end{vmatrix}=0,$$ 其中 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 為虛數單位. 證明: $|B^2+C^2|=0$.
證明 將第一分塊行乘以 $-\mathrm{i}$, 可知 $\begin{pmatrix} A-\mathrm{i}D & B \\ B' & C \\ \end{pmatrix}$ 為奇異陣, 下面用兩種方法來證明結論.
證法 1 由上述矩陣的奇異性可知, 存在 $0\neq\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{2n}$, 使得
$$\begin{pmatrix} A-\mathrm{i}D & B \\ B' & C \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}=0. \qquad(1)$$
(1) 式左乘 $(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')$, 再經整理后可得:
$$(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} A & B \\ B' & C \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}-\mathrm{i}(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} D & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}=0. \qquad(2)$$
由假設容易驗證 $(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} A & B \\ B' & C \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}$ 和 $(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} D & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}$ 這兩個數在共軛轉置下不變, 從而它們都是實數. 比較 (2) 式兩邊的實部與虛部, 可得 $(\overline{\alpha}',\overline{\beta}')\begin{pmatrix} D & O \\ O & O \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ \end{pmatrix}=\overline{\alpha}'D\alpha=0$.
設 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'$, 則
$$0=\overline{\alpha}'D\alpha=d_1|a_1|^2+d_2|a_2|^2+\cdots+d_n|a_n|^2,$$
又 $d_i>0\,(1\leq i\leq n)$, 故 $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$, 即 $\alpha=0$. 代入 (1) 式可知, $\beta\neq 0$ 且 $\begin{pmatrix} B \\ C \\ \end{pmatrix}\beta=0$, 即 $B\beta=C\beta=0$, 從而 $(B^2+C^2)\beta=0$, 於是 $B^2+C^2$ 必為奇異陣, 即有 $|B^2+C^2|=0$.
證法 2 先證明 $A-\mathrm{i}D$ 為非異陣 (也可由高代白皮書的例 3.80 得到). 任取線性方程組 $(A-\mathrm{i}D)x=0$ 的解 $\alpha\in\mathbb{C}^n$, 即 $(A-\mathrm{i}D)\alpha=0$. 此式左乘 $\overline{\alpha}'$ 可得 $\overline{\alpha}'A\alpha-\mathrm{i}\overline{\alpha}'D\alpha=0$. 由假設容易驗證 $\overline{\alpha}'A\alpha$ 和 $\overline{\alpha}'D\alpha$ 這兩個數在共軛轉置下不變, 從而它們都是實數. 比較上式兩邊的實部與虛部, 可得 $\overline{\alpha}'D\alpha=0$. 同證法 1 可得 $\alpha=0$, 故 $(A-\mathrm{i}D)x=0$ 只有零解, 於是 $A-\mathrm{i}D$ 為非異陣. 由降階公式可得
$$0=\begin{vmatrix} A-\mathrm{i}D & B \\ B' & C \\ \end{vmatrix}=|A-\mathrm{i}D|\cdot|C-B'(A-\mathrm{i}D)^{-1}B|,$$
於是 $|C-B'(A-\mathrm{i}D)^{-1}B|=0$, 從而存在 $0\neq\beta\in\mathbb{C}^n$, 使得
$$(C-B'(A-\mathrm{i}D)^{-1}B)\beta=0. \qquad(3)$$
(3) 式左乘 $\overline{\beta}'$ 可得
$$\overline{\beta}'C\beta-\overline{\beta}'B'(A-\mathrm{i}D)^{-1}B\beta=0.$$
令 $\gamma=(A-\mathrm{i}D)^{-1}B\beta$, 則 $\overline{\beta}'B'=\overline{B\beta}'=\overline{(A-\mathrm{i}D)\gamma}'=\overline{\gamma}'(A+\mathrm{i}D)$. 於是上式可化為
$$0=\overline{\beta}'C\beta-\overline{\gamma}'(A+\mathrm{i}D)\gamma=(\overline{\beta}'C\beta-\overline{\gamma}'A\gamma)-\mathrm{i}\overline{\gamma}'D\gamma. \qquad(4)$$
比較 (4) 式兩邊的實部與虛部, 可得 $\overline{\gamma}'D\gamma=0$. 同證法 1 可得 $\gamma=0$, 於是 $B\beta=(A-\mathrm{i}D)\gamma=0$. 代入 (3) 式可得 $C\beta=0$, 從而 $(B^2+C^2)\beta=0$, 於是 $B^2+C^2$ 為奇異陣, 即有 $|B^2+C^2|=0$. $\Box$
注 1 本題的證明思路與復旦大學數學學院19級高等代數I期中考試第七大題的證明思路非常類似, 請大家自行比較. 在高等代數第八章引入半正定實對稱陣 (Hermite 陣) 的定義后, 本題還可以推廣到如下形式, 其證明只要利用半正定實對稱陣 (Hermite 陣) 的性質 2 (高代白皮書的例 8.44) 即可:
推廣 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, $B$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, 滿足 $|A+\mathrm{i}B|=0$. 證明: 存在非零實列向量 $\alpha$, 使得 $A\alpha=B\alpha=0$.
注 2 本題得分在5分以上的同學共有 8 人: 吳孟霖 (10', 證法1), 李一帆 (8', 證法1), 何益涵 (7', 證法1), 魯萬豐 (7', 證法2), 張子堃 (6', 證法2), 李子豪 (5', 證法2), 王芃淏 (5', 證法2), 肖逸航 (5', 證法2).