八、(本題10分) 設 $V$ 為數域 $K$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 為 $V$ 上的線性變換. 子空間 $C(\varphi,\alpha)=L(\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots)$ 稱為 $\varphi$ 關於 $V$ 中向量 $\alpha$ 的循環子空間. 若非零多項式 $f(x)\in K[x]$ 滿足 $f(\varphi)(\alpha)=0$, 則稱 $f(x)$ 是 $\varphi$ 在 $\alpha$ 處的零化多項式.
(1) 證明: 對 $V$ 中任一非零向量 $\alpha$, 必存在 $\varphi$ 在向量 $\alpha$ 處的零化多項式.
(2) 設 $V=C(\varphi,\alpha_1)\bigoplus C(\varphi,\alpha_2)\bigoplus\cdots\bigoplus C(\varphi,\alpha_m)$, 其中 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 是 $V$ 中的非零向量, $f_i(x)$ 是 $\varphi$ 在 $\alpha_i$ 處的零化多項式. 證明: 若 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)$ 是 $K$ 上互異的首一不可約多項式, 則 $\varphi$ 的任一不變子空間必為 $\bigoplus\limits_{i\in I}C(\varphi,\alpha_i)$ 的形式, 其中 $I$ 是 $\{1,2,\cdots,m\}$ 的子集 (注: $I$ 為空集時對應於零子空間).
分析 本題是新白皮書第 202 頁例 4.47 的推廣, 例 4.47 是零化多項式都是一次多項式的情形, 顯然它的證明完全不能延拓到本題, 我們必須尋找新的方法. 本題的技巧就是互素多項式的應用 (參考白皮書第 256 頁的 5.2.9 節) 以及中國剩余定理 (它的證明也是互素多項式的應用, 也可以直接用互素多項式的討論替代它). 下面我們給出第二問的兩種證明, 雖然它們本質上是一樣的, 但考慮問題的出發點還是不同的.
證明 (1) 由於 $\dim V=n$, 故 $\alpha,\varphi(\alpha),\cdots,\varphi^{n-1}(\alpha),\varphi^n(\alpha)$ 必線性相關, 即存在不全為零的數 $c_0,c_1,\cdots,c_{n-1},c_n$, 使得 $$c_0\alpha+c_1\varphi(\alpha)+\cdots+c_{n-1}\varphi^{n-1}(\alpha)+c_n\varphi^n(\alpha)=0.$$ 令 $f(x)=c_0+c_1x+\cdots+c_{n-1}x^{n-1}+c_nx^n$, 則 $f(x)\neq 0$ 且 $f(\varphi)(\alpha)=0$.
(2) 證法一 任取 $V$ 的一個非零 $\varphi$-不變子空間 $U$, 定義 $$I=\{i\in [1,m]\mid \exists\,\beta\in U,\,\,\beta=\beta_1+\cdots+\beta_i+\cdots+\beta_m,\,\,\beta_j\in C(\varphi,\alpha_j),\,\,\beta_i\neq 0\}.$$ 顯然, $I\neq\emptyset$ 並且 $U\subseteq \bigoplus\limits_{i\in I}C(\varphi,\alpha_i)$. 下面證明對任一 $i\in I$, $C(\varphi,\alpha_i)\subseteq U$ 成立, 從而結論成立. 不妨取 $\beta\in U$, $\beta=\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_m$, 其中 $\beta_i\in C(\varphi,\alpha_i)$ 且 $\beta_1\neq 0$, 我們只要證明 $C(\varphi,\alpha_1)\subseteq U$ 即可. 設 $\beta_i=g_i(\varphi)(\alpha_i)$, 其中 $g_i(x)\in K[x]\,(1\leq i\leq m)$. 因為 $\beta_1\neq 0$, 故 $f_1(x)\nmid g_1(x)$, 又 $f_1(x)$ 是不可約多項式, 從而只能是 $(f_1(x),g_1(x))=1$, 於是存在 $u(x),v(x)\in K[x]$, 使得 $f_1(x)u(x)+g_1(x)v(x)=1$. 代入 $x=\varphi$ 可得 $$f_1(\varphi)u(\varphi)+g_1(\varphi)v(\varphi)=I_V,$$ 上式兩邊同時作用 $\alpha_1$ 可得 $$\alpha_1=u(\varphi)f_1(\varphi)(\alpha_1)+v(\varphi)g_1(\varphi)(\alpha_1)=v(\varphi)(\beta_1).$$ 因為 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)$ 兩兩互素, 由中國剩余定理可知, 存在 $h(x)\in K[x]$, 使得 $$h(x)\equiv v(x) \pmod{f_1(x)},\,\,\,\,h(x)\equiv 0 \pmod{f_j(x)},\,\,j=2,\cdots,m,$$ 從而 $$h(\varphi)(\beta)=h(\varphi)(\beta_1)+h(\varphi)(\beta_2)+\cdots+h(\varphi)(\beta_m)=v(\varphi)(\beta_1)=\alpha_1\in U.$$ 因為 $C(\varphi,\alpha_1)$ 是由 $\alpha_1$ 生成的 $\varphi$-不變的循環子空間, 故有 $C(\varphi,\alpha_1)\subseteq U$.
證法二 設 $p_i:V\to C(\varphi,\alpha_i)$ 是從 $V$ 到其直和因子 $C(\varphi,\alpha_i)$ 上的投影映射, 任取 $V$ 的一個非零 $\varphi$-不變子空間 $U$, 定義 $U_i=p_i(U)$, 則容易驗證 $U_i$ 是 $C(\varphi,\alpha_i)$ 的子空間. 顯然我們有 $$U\subseteq U_1+U_2+\cdots+U_m=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_m.$$ 首先, 我們來證明上述包含關系是相等關系, 為此不失一般性, 我們只要證明 $U_1\subseteq U$ 即可. 任取 $\beta_1\in U_1$, 並設它是 $\beta\in U$ 的投影, 即有 $\beta=\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_m$, 其中 $\beta_i\in U_i$. 因為 $f_1(x)$ 與 $f_2(x)\cdots f_m(x)$ 互素, 故存在 $u(x),v(x)\in K[x]$, 使得 $f_1(x)u(x)+f_2(x)\cdots f_m(x)v(x)=1$. 代入 $x=\varphi$ 可得 $$f_1(\varphi)u(\varphi)+f_2(\varphi)\cdots f_m(\varphi)v(\varphi)=I_V,$$ 上式兩邊同時作用 $\beta_1$ 可得 $$\beta_1=u(\varphi)f_1(\varphi)(\beta_1)+v(\varphi)f_2(\varphi)\cdots f_m(\varphi)\big(\beta-(\beta_2+\cdots+\beta_m)\big)$$$$=v(\varphi)f_2(\varphi)\cdots f_m(\varphi)(\beta)\in U,$$ 從而 $U_1\subseteq U$ 成立, 因此 $$U=U_1\oplus U_2\oplus\cdots\oplus U_m.$$ 其次, 注意到 $$\varphi(\beta)=\varphi(\beta_1)+\varphi(\beta_2)+\cdots+\varphi(\beta_m),\,\,\,\,\beta\in U,\,\,\beta_i\in U_i\subseteq C(\varphi,\alpha_i),$$ 由於 $C(\varphi,\alpha_i)$ 是 $\varphi$-不變的, 故 $\varphi(\beta_i)\in C(\varphi,\alpha_i)$ 也是 $\varphi(\beta)\in U$ 在 $C(\varphi,\alpha_i)$ 上的投影, 於是 $\varphi(\beta_i)\in U_i$, 這說明 $U_i$ 是 $C(\varphi,\alpha_i)$ 的 $\varphi$-不變子空間. 最后, 為了證明本題結論, 我們只要證明 $C(\varphi,\alpha_i)$ 只有平凡的 $\varphi$-不變子空間即可. 不妨設 $U_1$ 是 $C(\varphi,\alpha_1)$ 的非零 $\varphi$-不變子空間, 任取 $0\neq\beta_1\in U_1$, 並設 $\beta_1=g_1(\varphi)(\alpha_1)$, 其中 $g_1(x)\in K[x]$. 因為 $\beta_1\neq 0$, 故 $f_1(x)\nmid g_1(x)$, 又 $f_1(x)$ 是不可約多項式, 從而只能是 $(f_1(x),g_1(x))=1$, 於是存在 $w(x),t(x)\in K[x]$, 使得 $f_1(x)w(x)+g_1(x)t(x)=1$. 代入 $x=\varphi$ 可得 $$f_1(\varphi)w(\varphi)+g_1(\varphi)t(\varphi)=I_V,$$ 上式兩邊同時作用 $\alpha_1$ 可得 $$\alpha_1=w(\varphi)f_1(\varphi)(\alpha_1)+t(\varphi)g_1(\varphi)(\alpha_1)=t(\varphi)(\beta_1)\in U_1.$$ 因為 $C(\varphi,\alpha_1)$ 是由 $\alpha_1$ 生成的 $\varphi$-不變的循環子空間, 故 $U_1=C(\varphi,\alpha_1)$ 成立, 結論得證. $\Box$
注 本題15級只有謝靈堯同學和王昊越同學完全做出.