八、(本題10分) 設 $A,B$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, 其算術平方根記為 $A^{\frac{1}{2}}$, $B^{\frac{1}{2}}$, 證明: 若 $A-B$ 為半正定陣, ...

七、(本題10分) 設 $A,B,C$ 分別為 $m\times n$, $p\times q$ 和 $m\times q$ 矩陣, 證明: $r\begin{pmatrix} A & C ...

八、(10分) 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n\,(n>1)$ 階實對稱陣, 滿足: 每行元素之和都等於零, 並且非主對角元素都小於等於零. 設指標集 $\Gamma=\{1,2,\cdots,n\}$, 兩個指標 $i\neq j$ 稱為連通的, 如果存在一列指標 $i=i ...

八、(本題10分) 設 $n$ 階實方陣 $A$ 滿足 $AA'=cA'A$, 其中 $c$ 為非零實數. 證明: 若 $r(A)=r\geq 1$, 則 $A$ 至少有一個 $r$ 階主子式非零. ...

八、(10分) 設 $A,C$ 為 $n$ 階實對稱陣, $B$ 為 $n$ 階實方陣, $D=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,\cdots,d_n\}$, $d_i>0\,(1\leq i\leq n)$, 滿足: $$\begin{vmatrix} \mathrm{i ...

八、(本題10分) 設 $A,B$ 為 $n$ 階實方陣, 使得 $A'B$ 是反對稱陣. 證明: $$r(A'B)\leq r(A)+r(B)-r(A+B),$$ 並確定等號成立的充要條件. 證 ...

六、(本題10分) 設 $A$ 為數域 $\mathbb{K}$ 上的 $2n$ 階反對稱陣, $\alpha$ 為 $2n$ 維列向量, $x$ 為未定元, 證明: $$|A+x\alpha\alpha'|=|A|.$$ 證法一(利用行列式的性質) 第一步是將 $|A+x\alpha ...

一、期末考試成績班級前幾名 胡曉波(93)、宋沛穎(92)、張舒帆(91)、姚人天(90)、曾奕博(90)、楊彥婷(90)、白睿(88)、唐指朝(87)、謝靈堯(87)、蔡雪(87) 二、總成績計算方法 平時成績根據交作業的次數決定，本學期共交作業13次，10次以上（包括10次）100分，少 ...