八、(10分) 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n\,(n>1)$ 階實對稱陣, 滿足: 每行元素之和都等於零, 並且非主對角元素都小於等於零. 設指標集 $\Gamma=\{1,2,\cdots,n\}$, 兩個指標 $i\neq j$ 稱為連通的, 如果存在一列指標 $i=i_1,i_2,\cdots,i_k=j$, 使得 $a_{i_1i_2}<0$, $a_{i_2i_3}<0$, $\cdots$, $a_{i_{k-1}i_k}<0$. 設指標集 $\Gamma$ 分成 $m$ 個連通分支 $\Gamma_1,\Gamma_2,\cdots,\Gamma_m$, 即同一連通分支內的不同指標相連通, 不同連通分支之間的指標不連通. 證明: $r(A)=n-m$.
證明 通過行對換以及對稱的列對換, 可將連通的指標放在一起, 從而 $A$ 相抵於 (合同於) 實對稱陣 $\mathrm{diag}\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$, 其中 $A_i$ 是 $n_i$ 階實對稱陣, 滿足: 每行元素之和都等於零, 並且非主對角元素都小於等於零. 若 $r(A_i)=n_i-1$ 得證, 則 $$r(A)=\sum_{i=1}^mr(A_i)=\sum_{i=1}^m(n_i-1)=\sum_{i=1}^mn_i-m=n-m.$$ 因此, 我們只要證明: 對滿足題目條件的實對稱陣 $A$, 當所有指標都連通時, $r(A)=n-1$ 即可. 由線性方程組的求解理論, 這等價於證明: 齊次線性方程組 $Ax=0$ 的解空間 $V_A$ 的維數等於 $1$.
一方面, 設 $\alpha=(1,1,\cdots,1)'$, 則由題目條件可知 $\mathbb{R}\cdot\alpha\subseteq V_A$. 另一方面, 任取 $Ax=0$ 的一個解 $x_0=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in\mathbb{R}^n$, 即 $Ax_0=0$, 則有 $$0=x_0'Ax_0=\sum_{i=1}^na_{ii}a_i^2+2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_{ij}a_ia_j.$$ 利用不等式 $2a_ia_j\leq a_i^2+a_j^2$ 以及 $a_{ij}\leq 0\,(\forall\,i\neq j)$ 可得: $$0=x_0'Ax_0\geq\sum_{i=1}^na_{ii}a_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}(a_i^2+a_j^2)a_{ij}=\sum_{i,j=1}^na_{ij}a_i^2=\sum_{i=1}^n(\sum_{j=1}^na_{ij})a_i^2=0.$$ 因此, 上述不等式等號成立, 這當且僅當: 若 $a_{ij}<0$, 則必有 $a_i=a_j$. 由於所有的指標都連通, 故必有 $a_1=a_2=\cdots=a_n$, 即 $x_0\in\mathbb{R}\cdot\alpha$. 因此, $V_A=\mathbb{R}\cdot\alpha$, 從而 $r(A)=n-\dim V_A=n-1$. $\Box$
注 (1) 這道試題從代數曲面理論中的一個引理改編而來, 即光滑射影代數曲面上的曲線 (有效除子), 若收縮到一個點或為曲面纖維化的一條纖維, 則它的不可約分支之間的相交數構成的實對稱陣是一個半負定矩陣. 在本題中, 由上述證明的后半部分可直接得到 $A$ 為半正定矩陣. 當然, 也可以這樣證明: 對任意的 $t>0$, $A+tI_n$ 都是嚴格對角占優陣且主對角元素全大於零, 則由高代白皮書的例 8.28 可知對任意的 $t>0$, $A+tI_n$ 都是正定矩陣, 再由高代白皮書的例 8.40 可知 $A$ 為半正定矩陣.
(2) 由於本題具有較高的技巧, 故數學學院 19 級同學 (包括 18 級轉專業同學) 中沒有人完全做出, 其中得到 4 分的同學有: 蔣安 (18 級轉專業), 陳建翔 (18 級轉專業), 鄒思遠 (18 級轉專業).