六、(10分) 設 $n\,(n>1)$ 階方陣 $A$ 滿足: 每行元素之和都等於 $c$, 並且 $|A|=d\neq 0$. 試求 $A$ 的所有代數余子式之和 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$.
解法一 (矩陣性質) 設 $\alpha=(1,1,\cdots,1)'$, 則由條件可知 $A\alpha=c\alpha$. 由於 $A$ 是非異陣, 故 $c\neq 0$ (否則由 $A\alpha=0$ 可推出 $\alpha=0$, 矛盾), 於是 $A^{-1}\alpha=c^{-1}\alpha$. 注意到 $A^*=|A|A^{-1}$, 故 $A^*\alpha=|A|A^{-1}\alpha=\dfrac{d}{c}\alpha$, 即 $A^*$ 的每行元素之和都等於 $\dfrac{d}{c}$, 從而 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}=\dfrac{nd}{c}$.
解法二 (行列式性質) 將行列式 $|A|$ 的第 $j$ 列之外的其他列全部加到第 $j$ 列上, 則由條件和行列式的性質可得: $$|A|=\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & c & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & c & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & c & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}.$$ 右邊的行列式按照第 $j$ 列進行展開, 可得 $$d=c(A_{1j}+A_{2j}+\cdots+A_{nj}),$$ 於是 $\sum\limits_{i=1}^nA_{ij}=\dfrac{d}{c}$, 從而 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}=\dfrac{nd}{c}$.
解法三 (行列式模板) 采用與高代白皮書例 1.32 相同的記號, 則有 $|A(t)|=|A|+t\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}$. 注意到 $A(-\dfrac{c}{n})$ 的每行元素之和都等於零, 從而它是奇異陣, 於是 $$0=|A(-\dfrac{c}{n})|=|A|-\frac{c}{n}\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}=d-\frac{c}{n}\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij},$$ 由此即得 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}=\dfrac{nd}{c}$.
解法四 (降階公式) 設 $\alpha=(1,1,\cdots,1)'$, 則由降階公式或高代白皮書的例 1.8 可得 $$\begin{vmatrix} A & \alpha \\ \alpha' & 1 \\ \end{vmatrix}=|A|-\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}.$$ 另一方面, 將左邊行列式的前 $n$ 列全部加到第 $n+1$ 列上, 可得 $$|A|-\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}=\begin{vmatrix} A & \alpha \\ \alpha' & 1 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A & (c+1)\alpha \\ \alpha' & n+1 \\ \end{vmatrix}=(n+1)|A|-(c+1)\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij},$$ 由此即得 $\sum\limits_{i,j=1}^nA_{ij}=\dfrac{nd}{c}$. $\Box$
注 本題共有 97 名同學完全做出, 其中 33 人采用解法一; 32 人采用解法二; 29 人采用解法三 (形式上略有不同, $t$ 可以選取不同的值); 3 人采用解法四 (形式上略有不同, 可以把右下角的 1 換成任意的常數). 如果大家去對比一下 19 級高代 I 每周一題第 7 題, 就不難發現: 數學問題經過適當的抽象之后, 往往更容易看清楚問題的本質, 從而可以得到更加簡潔的解法或證法.