七、(10分) 設 $V$ 為 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, $V=U\oplus W$, 其中 $U,W$ 都是 $\varphi$-不變子空間. 證明: ...

八、(10分) 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n\,(n>1)$ 階實對稱陣, 滿足: 每行元素之和都等於零, 並且非主對角元素都小於等於零. 設指標集 $\Gamma=\{1,2,\cdots,n\}$, 兩個指標 $i\neq j$ 稱為連通的, 如果存在一列指標 $i=i ...

八、(10分) 設 $n$ 階復方陣 $M$ 的全體特征值為 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 則 $M$ 的譜半徑 $\rho(M)$ 定義為 $\rho(M)=\max\limits_{1\leq i\leq n}|\lambda_i|$. 設 ...

七、(10分) 設數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n\geq 2)$ 階方陣 $A,B$ 滿足 $AB=0$ 且 $\mathrm{tr}(A^*)=0$, 證明: $A^*B=0$ ...

六、(本題10分) 設 $M_n(K)$ 為數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣全體構成的線性空間, $A,B\in M_n(K)$, $M_n(K)$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\ ...

六、(本題10分) 設 $A$ 為數域 $\mathbb{K}$ 上的 $2n$ 階反對稱陣, $\alpha$ 為 $2n$ 維列向量, $x$ 為未定元, 證明: $$|A+x\alpha\alpha'|=|A|.$$ 證法一(利用行列式的性質) 第一步是將 $|A+x\alpha ...

六、(本題10分) 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, 證明: $A$ 有 $n$ 個不同的特征值當且僅當對 $A$ 的任一特征值 $\lambda_0$ 及對應的特征向量 $\alpha$, 矩陣 $\begin{pmatrix} A-\lambda_0I_n & \alpha ...

八、(本題10分) 設 $A,B$ 為 $n$ 階實方陣, 使得 $A'B$ 是反對稱陣. 證明: $$r(A'B)\leq r(A)+r(B)-r(A+B),$$ 並確定等號成立的充要條件. 證 ...