八、(本題10分) 設 $n$ 階實方陣 $A$ 滿足 $AA'=cA'A$, 其中 $c$ 為非零實數. 證明: 若 $r(A)=r\geq 1$, 則 $A$ 至少有一個 $r$ 階主子式非零.
思路 本題是高代教材復習題三的第 45 題或高代白皮書的例 3.83 的推廣 (對稱陣和反對稱陣都滿足題設條件), 其主要想法還是利用高代教材復習題三的第 44 題或高代白皮書的例 3.82 的結論, 先取出 $A$ 的列向量的極大無關組, 然后利用 $A$ 與 $A'$ 的某種弱對稱性 (即 $AA'=cA'A$) 去證明相同指標的行向量也是 $A$ 的行向量組的極大無關組即可. 利用上述思路, 我們提供三種不同的證明方法. 另外, 我們還利用高代 II 中的復正規陣的酉相似標准型理論給出最簡單的第四種證明方法.
證法一 (向量組的秩) 設 $A=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)$ 為列分塊, 且 $\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}$ 是列向量的極大無關組, 則 $A'A=(A'\beta_1,A'\beta_2,\cdots,A'\beta_n)$ 為 $A'A$ 的列分塊, 且每個列向量 $A'\beta_i$ 都是 $A'\beta_{i_1},A'\beta_{i_2},\cdots,A'\beta_{i_r}$ 的線性組合. 由教材復習題三的第 41 題或白皮書的例 3.72 可知, $r(A'A)=r(A)=r$, 再由白皮書的例 3.19 可知, $A'\beta_{i_1},A'\beta_{i_2},\cdots,A'\beta_{i_r}$ 是 $A'A$ 的列向量的極大無關組. 由於 $AA'=cA'A\,(c\neq 0)$, 故 $AA'$ 的第 $i_1,\cdots,i_r$ 列也是 $AA'$ 的列向量的極大無關組. 設 $A=\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n\\ \end{pmatrix}$ 為行分塊, 則 $AA'=A(\alpha_1',\alpha_2',\cdots,\alpha_n')=(A\alpha_1',A\alpha_2',\cdots,A\alpha_n')$ 為 $AA'$ 的列分塊, 於是 $A\alpha_{i_1}',A\alpha_{i_2}',\cdots,A\alpha_{i_r}'$ 是 $AA'$ 的列向量的極大無關組, 特別地, 它們線性無關. 因此, $\alpha_{i_1}',\alpha_{i_2}',\cdots,\alpha_{i_r}'$ 必線性無關, 從而 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 也線性無關. 由於 $r(A)=r$, 故由白皮書的例 3.19 可知, $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 是 $A$ 的行向量的極大無關組. 最后, 由教材復習題三的第 44 題或白皮書的例 3.82 可知 $A\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ \end{pmatrix}\neq 0$.
證法二 (Cauchy-Binet 公式) 由於 $r(A)=r$, 故 $A$ 至少有一個 $r$ 階子式非零, 不妨設 $A\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ j_1 & j_2 & \cdots & j_r\\ \end{pmatrix}\neq 0$. 由教材習題 3.4.9 可知, $A$ 的第 $i_1,i_2,\cdots,i_r$ 行線性無關, 又 $r(A)=r$, 故第 $i_1,i_2,\cdots,i_r$ 行是 $A$ 的行向量的極大無關組. 利用 Cauchy-Binet 公式進行如下計算: $$AA'\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ \end{pmatrix}=\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}A\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ k_1 & k_2 & \cdots & k_r\\ \end{pmatrix}A'\begin{pmatrix} k_1 & k_2 & \cdots & k_r\\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ \end{pmatrix}=\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}A\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ k_1 & k_2 & \cdots & k_r\\ \end{pmatrix}^2>0.$$ 注意到 $AA'=cA'A\,(c\neq 0)$, 於是我們有 $$(cA'A)\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ \end{pmatrix}\\=c^r\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}A'\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ k_1 & k_2 & \cdots & k_r\\ \end{pmatrix}A\begin{pmatrix} k_1 & k_2 & \cdots & k_r\\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ \end{pmatrix}\\=c^r\sum_{1\leq k_1<\cdots<k_r\leq n}A\begin{pmatrix} k_1 & k_2 & \cdots & k_r\\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ \end{pmatrix}^2>0,$$ 從而至少存在某個 $A\begin{pmatrix} k_1 & k_2 & \cdots & k_r\\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ \end{pmatrix}\neq 0$. 重復開始部分的證明可知, $A$ 的第 $i_1,i_2,\cdots,i_r$ 列是 $A$ 的列向量的極大無關組, 最后由教材復習題三的第 44 題或白皮書的例 3.82 可知結論成立.
證法三 (Gram 矩陣) 設 $A=\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n\\ \end{pmatrix}=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)$ 分別為 $A$ 的行分塊和列分塊, 則 $$AA'=\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n\\ \end{pmatrix}(\alpha_1',\alpha_2',\cdots,\alpha_n')=(\alpha_i\cdot\alpha_j')_{n\times n}=G(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$$ 是 $A$ 的行向量在標准內積下的 Gram 矩陣, $$A'A=\begin{pmatrix}\beta_1'\\ \beta_2'\\ \vdots\\ \beta_n'\\ \end{pmatrix}(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\beta_i'\cdot\beta_j)_{n\times n}=G(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)$$ 是 $A$ 的列向量在標准內積下的 Gram 矩陣. 我們引用一個 Gram 矩陣的性質 (參考教材的習題 9.2.9 或白皮書的例 9.5): 幾個行向量 (列向量) 線性無關當且僅當它們的 Gram 矩陣是非異陣. 設 $\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 是 $A$ 的行向量的極大無關組, 則它們的 Gram 矩陣 $G(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r})$ 是非異陣. 注意到 $G(\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r})$ 的行列式是 $AA'$ 的第 $i_1,i_2,\cdots,i_r$ 階主子式, 又 $AA'=cA'A\,(c\neq 0)$, 故 $A'A$ 的第 $i_1,i_2,\cdots,i_r$ 階主子式也不等於零, 而這正是列向量 $\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}$ 的 Gram 矩陣 $G(\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r})$ 的行列式, 因此 $\beta_{i_1},\beta_{i_2},\cdots,\beta_{i_r}$ 線性無關, 從而是 $A$ 的列向量的極大無關組, 最后由教材復習題三的第 44 題或白皮書的例 3.82 可知結論成立.
證法四 (復正規陣的酉相似標准型) 在等式 $AA'=cA'A$ 的兩邊同時取跡, 由跡的線性、交換性和正定性 (參考白皮書的 2.2.6 節) 以及 $A\neq 0$ 可得 $c=1$, 因此 $AA'=A'A$, 即 $A$ 是實正規陣. 由復正規陣的酉相似標准型理論可知, 存在酉陣 $P$, 使得 $\overline{P}'AP=\mathrm{diag}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0\}$, 其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$ 是 $A$ 的全體非零復特征值. 由矩陣特征值與主子式之間的關系 (參考白皮書的例 6.15): $$\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix} i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ i_1 & i_2 & \cdots & i_r\\ \end{pmatrix}=\sum_{1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n}\lambda_{i_1}\lambda_{i_2}\cdots\lambda_{i_r}=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_r\neq 0,$$ 從而 $A$ 至少有一個 $r$ 階主子式非零. $\Box$
注 與證法四不同, 前面三種證法不需要 $c=1$ 這個條件, 只需要 $c\neq 0$ 即可. 證法二由 16 級方博越同學提供, 證法三由 16 級郭宇城同學提供. 本次期末考試僅有郭宇城同學一人做對了本題, 17 級張昰昊同學給了類似於證法四的不完全證明.