七、（本題10分）設 \(A\) 為數域 \(K\) 上的 \(n\) 階非異陣, 證明: 對任意的對角陣 \(B\in M_n(K)\), \(A^{-1}BA\) 均為對角陣的充分必要條件是 \(A=P_1P_2\cdots P_r\), 其中 \(P_i\) 均為第一類初等陣 (即對換 \(I_n\) 的某兩行) 或第二類初等陣 (即非零常數乘以 \(I_n\) 的某一行).
證明 充分性通過簡單驗證即可證明. 現證必要性, 設 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\), 取 \(B=\mathrm{diag}\{1,2,\cdots,n\}\), 設 \(A^{-1}BA=C=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,\cdots,d_n\}\). 由 \(BA=AC\) 知對任意的 \(i，j\) 成立: \[ia_{ij}=d_ja_{ij}.\]
因為 \(A\) 的每個列向量均非零, 故對任意的 \(1\leq j\leq n\), 存在某個行指標 \(i_j\) 使得 \(a_{i_j j}\neq 0\). 由上述條件可得 \[d_j=i_j,\,\,\forall\,1\leq j\leq n.\]
再次帶入上述條件可得\[a_{ij}=0,\,\,\forall\,i\neq i_j,\,1\leq j\leq n.\]
由 \(A\) 的非異性知 \(A\) 的列向量線性無關, 從而 \(i_1,i_2,\cdots,i_n\) 是 \(1,2,\cdots,n\) 的全排列, 故通過若干次行對換可將 \(A\) 變為對角陣且主對角線上元素非零; 再通過若干次第二類初等行變換可將矩陣變為單位陣 \(I_n\), 故 \(A\) 是第一類初等陣和第二類初等陣的乘積. \(\Box\)