七、(本題10分) 設 $V$ 為 $n$ 維線性空間, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi\psi=\varphi$. 證明: $\mathrm{Ke ...

六、(本題10分) 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, 證明: $A$ 有 $n$ 個不同的特征值當且僅當對 $A$ 的任一特征值 $\lambda_0$ 及對應的特征向量 $\alpha$, 矩 ...

八、(本題10分) 設 $A,B,C$ 均為 $n$ 階半正定實對稱陣, 使得 $ABC$ 是對稱陣, 即滿足 $ABC=CBA$. 證明: $ABC$ 也是半正定陣. 證明 我們先引用如下引理 ...

七、(本題10分) 設 $A_1,A_2,\cdots,A_m$ 為 $n$ 階實對稱陣, 其中 $A_1$ 為正定陣, 並且對任意的 $2\leq i<j\leq m$, $A_iA_1^{ ...

七、(10分) 設數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n\,(n\geq 2)$ 階方陣 $A,B$ 滿足 $AB=0$ 且 $\mathrm{tr}(A^*)=0$, 證明: $A^*B=0$ ...

八、(本題10分) 設 $A,B$ 為 $n$ 階實方陣, 使得 $A'B$ 是反對稱陣. 證明: $$r(A'B)\leq r(A)+r(B)-r(A+B),$$ 並確定等號成立的充要條件. 證 ...

七、(10分) 設 $A$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, $B,C$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, 使得 $BA^{-1}C$ 為對稱陣. 證明: $$|A|\cdot|A+B+C|\leq |A ...

七、(本題10分) 設 $U,V,W$ 均為數域 $K$ 上的非零線性空間, $\varphi:V\to U$ 和 $\psi:U\to W$ 是線性映射, 滿足 $r(\psi\varphi)=r ...