盧維瀟簡介
- 北京大學數學科學學院 16 級本科生
- 2017年度第九屆全國大學生數學競賽 全國決賽低年級組一等獎
- 2018年度第十屆全國大學生數學競賽 全國決賽高年級組一等獎（全國第一名）
- 2019年丘成桐大學生數學競賽 代數銀牌、幾何銀牌、分析銀牌、個人全能銅牌
對高等代數學習方法指導書的評價
我第一次接觸白皮書是和高中同學鍾梓源（復旦數學學院 16 級）的交流當中發現的，記得是上半期開學之后，鍾梓源給我發了幾張他們高等代數“練習冊”的照片，還記得是矩陣的 Kronecker 積和攝動法之類的，當時大為驚訝，我雖然對這些東西有所耳聞，但均來源於雜亂無章的各種資料。照片上的幾道題均有十足的難度，我當下決定買一本，便開始閱讀了起來。現在已經過去大半年，高等代數已經學完了最后一章的內容，白皮書也陪伴我度過了一個半學期。現在，我大概把白皮書上的題目全部做了一遍，不得不驚嘆於白皮書乃一本“葵花寶典”。
一、大量的補充知識
白皮書中擁有許多補充知識，很多內容都讓我大開眼界。比如：
- 攝動法，攝動法是一種十分有用且巧妙的方法，在一些書上也有所提及，但沒有專門的講解。白皮書上對於攝動法給了具體的說明，讓我又對攝動法有新的體會。
- 矩陣的 Kronecker 積，矩陣的 Kronecker 積即兩個線性變換張量積的矩陣表示，有些書也提到過。白皮書對此進行了系統的整理，並在特征值部分對矩陣 Kronecker 積進行補充。
- 結式與判別式一節有大量關於判別式、結式的公式。
- 一般域上的 Jordan 標准型，即廣義 Jordan 標准型內容也十分經典。對於非代數閉域（有域上 2 次及以上的不可約多項式），矩陣相似標准型是一個很重要的問題，但由於比較復雜，很難見到如此細致的整理。
- Legendre 多項式。
- 矩陣的 Moore-Penrose 廣義逆以及線性方程組解的逼近。
另外，書中還隱藏着一些內容銜接的信息，比如域擴張次數的公式等。
二、代數方法和幾何方法並用
對於高等代數問題，有兩種不同的風格，即代數方法和幾何方法。代數方法直接從矩陣入手，把一切問題都轉化成矩陣的問題，然后利用矩陣的技巧進行運算；而另一方面，也可以將矩陣的問題轉化為線性空間以及線性變換的問題。而白皮書把兩種方法均做到了極致。
在代數方面，常常看到利用分塊矩陣談笑風生，利用秩不等式扭轉乾坤，出其不意，用巧妙的矩陣運算化解復雜問題，比如例 2.61，例 3.60，例 4.53，例 6.45 等等。有些時候，矩陣的做法難以想到或技巧性較強，又有對應的幾何做法來化解，通過構造線性空間，考慮其線性變換及其不變子空間，又有另一片天地。白皮書中利用幾何方法推導冪零矩陣的 Jordan 標准型是我以前從來未見到過的，相對於高深的有限生成模分解，這種接地氣的幾何證明的確十分巧妙。另外，有關正規算子部分，也利用幾何方法推導出其性質，相比於算矩陣來說，更加貼近本質。
三、題目新穎
相比於其他書而言，白皮書更像是一本“高等代數習題集”而不是“高等代數陳題集”，上面有很多問題我自己在其他國內外的書上均沒有見過，並且難度十足。令我印象最深的就是“跡為 0 為換位子”，即若 $n$ 階矩陣 $C$ 滿足 $\mathrm{tr}(C)=0$，則存在矩陣 $A$ 和 $B$，使得 $C=AB-BA$，這道題目在我們上半學期上課的時候，有同學提出但同學和老師均未給出解答，就此擱置。這學期的時候，老師給我們發了一篇英文論文，證明的就是這個問題。但閱讀白皮書時才發現這道題已經在白皮書上出現了！利用有理標准型也可以給出一個相當簡潔的證明。不得不驚嘆於白皮書的博大精深。
四、前后聯系緊密
對於我自己而言，數學的一大魅力，在於用新的數學理論解決以前無法解決的問題。在看書的時候，書前面拋出問題，而在后面用新的觀點看它，實乃一大樂事。這樣就能體會到數學的統一性，讓人明白，創造理論就是為了解決問題。而白皮書，正好做到了這一點，前后聯系是非常緊密的。下面舉一些例子來說明。
- 例 1.16 給出了 Cauchy 行列式的計算，在例 8.27 在判斷矩陣 $a_{ij} = \dfrac {1}{i+j}$ 正定時，正好用上。
- 例 2.19 給出了 $B^{-1}-A^{-1}$ 的計算公式，后面才發現這是為了證明，若 $A>B>0$ 則 $B^{-1}>A^{-1}$ 。
- 第 8 章從矩陣角度給出了 Cholesky 分解，第 9 章又從內積空間的角度重新提及。
對高等代數每周一題的評價
雖然兩年過去了，但兩年前做謝老師思考題的日子還是記憶猶新。其實當時做思考題的目的很簡單：當我從復旦數院的高中同學那里得知此事，並且聽說每周一題深受大家歡迎時，一種躍躍欲試的想法便自然地冒了出來。
2016級高代II思考題的那18道題目確實非常精妙，基本上都沒有在其他地方見過（只有第6題的結論見過，但那道題是不用內積空間理論證明實對稱矩陣可對角化）。每道題當年我都花了一定時間去做，從中有了收獲，並且也在以后的學習中受益。
以一些具體問題為例：比如第6題證明對稱矩陣可對角化，我的思路永遠被限制在了內積空間自伴隨算子的性質，最終也沒把這道題做出來。看了各種解答之后才發現矩陣可對角化和對稱矩陣有很多等價條件和性質自己以前沒有掌握。又比如第10題，是有關半單性的一個很好的問題。在非代數閉的情形，線性變換特征值的缺失對不變子空間的研究造成了很大的障礙。這道題當時困擾了我很久，我也查了很多相關資料，在后面接觸非交換環論時，看到一些半單環理論立馬就想到了這道題，並給了我很多啟發。再比如后面一些內積空間的問題，其中一個結論的無窮維推廣在一道泛函分析的譜半徑估計的題目中出現過。
我並不后悔當年花了很多時間學習線性代數而犧牲了學后續課程的時間，甚至感到十分值得。功利一點說，2019年丘成桐大學生數學競賽的代數決賽試題，除了證明48階群不是單群之外，全是線性代數的問題，譬如證明奇異值分解，證明兩個矩陣在大域上相似則在小域上也相似，判斷矩陣在不同域上是否半單等等。當年的線性代數基礎使我對這些問題手到擒來，而當年對復旦高代每周一題的探索也對我學好線性代數起到了很好的作用。借此機會感謝謝老師的思考題，也感謝當年教給我很多高代技巧的安金鵬老師！