13級 宋沛穎
當我在上學期初剛拿到新版高等代數白皮書的時候，心里多少有些激動和新奇。激動的是，復旦這一系列的白皮書，特別是第二版的高代白皮書，一直是數學學院學生學習課程的有力工具，作為見證第三版白皮書出版的第一批學生，能看到老師們對於高等代數課程的思路和內容的一些思考和改進，我覺得很榮幸；新奇的是，在學習過第二版白皮書過后，我已經感覺到了白皮書的內容之豐富，技巧的多樣化，那么第三版會有多少改變，又是否還會有更大的突破？
帶着這樣的期待，我學習了第三版白皮書。我想，能夠在第三版白皮書中將高等代數的內容做到如此的深化，老師們的努力和用心都是值得的。在此我想談幾個第三版白皮書的特點以及我的一些收獲：
1. 主題按照方法和技巧進行分類。在大一的專業課程中，高等代數雖不算是最難的課程，但我認為它的技巧是最多、最靈活的。大一新生大多習慣了高中刷題式的學習方式，不善於去深入思考概念的深刻含義並對題目的方法與技巧進行總結，沒有意識去發掘與思考題目之間對技巧的靈活運用與轉化，所以進入大學以后對學習方法不免感到有些盲目。而白皮書對於學生這方面有着很大的幫助。不同於其他的輔導書籍，白皮書並沒有嚴格按照教材的順序來寫，而是將一個階段的內容和解題技巧分類進行了較為全面的總結。這樣做的好處就是在遇到題目時，學生的思路能夠更加的明確，特別是為處理一些較難的問題指出了一些思考的方向，熟練這些技巧以后便會很自然的運用到自己的解題過程中。特別的，我認為每一章節的開始部分與例題后的注釋都有很多思想上的指導意義（比如求Jordan標准型方法的總結、半正定對稱陣的幾條非常有用的性質、以及在條件和結論保持不變的情況下將部分條件化為標准型來處理的方法），非常值得讀者細心體會。
2. 一題多解與舉一反三。我認為這兩個能力是數學系學生必須具備的。當我們解出一道題后，特意回避我們認為最自然的思路，從我們不熟悉的方向尋找解題的突破點時，我們通常會在概念的理解和技巧的掌握上得到一些質的提升。新版白皮書中有很多一題多解的例題，在總結過新的方法和技巧后，又會拿出之前的例題來談新的技巧的一些應用，做到各種技巧融會貫通，並且鼓勵了讀者的發散性思維。同時，在這本書中一種技巧可以用來解決很多看似並不相關的問題，很多后面的練習題也是例題中技巧的應用，方便讀者檢驗自己的掌握程度。
3. 代數與幾何之間的相互轉化。代數與幾何的相互轉化是高等代數這門課程的主要教學思路，也是我們學習高等代數的重點與難點。白皮書也是在不斷強調二者之間轉化的能力。例如矩陣的秩的不等式與線性映射維數公式通常可以用來證明同一個結論、很多代數問題通常可以轉化成直觀的幾何問題、幾何問題又可以使用代數的初等變換等等技巧。這些的例題不但能鼓勵學生對不同的概念和技巧的理解與靈活運用，還可以加深對代數與幾何的相互轉化的思想。值得一提的是，數學的各個學科之間相互轉化的思想也是學生日后學習拓撲、泛函分析等學科的重要基礎，在高等代數的課程中認真的體會這一思想是對今后的學習和學科之間聯系的極大的啟發與幫助。
4. 對高年級學科有思想的指導意義。白皮書淺談了一些有限維空間與無限維空間的異同，將冪等矩陣作為單獨的一節，提出了許多冪等矩陣的性質和冪等變換與投影變換之間的聯系，並且講到了矩陣函數與Jordan標准型的聯系。這些都是我們今后學習常微分方程、泛函分析等課程的重要的思想的啟發，有很多思路值得相互借鑒。學過高年級的課程，再回頭來翻看白皮書也會有更深刻的體會。
5. 我對使用這本高代白皮書有幾點建議：
第一，第一遍先按順序嘗試思考其中的例題。白皮書的編寫順序非常的巧妙，前后兩道題目通常是層層遞進，或是解題技巧與思路相近。這樣通過前面題目的啟發，讀者很有可能運用前面的思路和方法解決后面的題目，有時甚至發現新的思路。
第二，每讀完一章以后，回過頭來用整體的眼光去瀏覽這一章的內容，並重點回顧書中一些關於解題技巧總結的段落。這樣做有利於讀者對於書中的知識體系、方法與技巧有更整體的把握。
第三，有時間的時候可以抽空翻閱一下前面章節的內容。很多時候我們可以發現前面的一些題目可以用我們后面學到的一些知識與技巧來解決，做到融會貫通、學以致用。
盡管高等代數是一門比較強調解題技巧的學科，但我認為我們學習的最終目的並不是用這些技巧去解決一道道的難題。所謂的技巧永遠是建立在其背后深刻的思想之上的，我們學習數學的意義也在於領悟這樣的思想。通過技巧來學習和體會其背后的思想，是運用這本白皮書的最佳方式。
讓這本白皮書發揮它最大的作用，需要編者的匠心，更需要讀者的用心。希望廣大同學能夠通過閱讀此書，對高等代數這門課程的知識體系有更清晰的理解，並能感受到高等代數帶給我們的一些深刻的數學思想。
13級 鹿彭
要說第三版白皮書的話，我應該算是很早的一批讀者了：老師在編寫這本書的時候，基本上每完成一章，都要發給學生們看看，期待意見和建議。我也不敢怠慢，與第二版白皮書對照着“找不同”，然后把有所改動的地方羅列出來，做一點粗淺的分析。一路下來，在對高代加深了一遍印象的同時，也深深體會到自己當初學習的不扎實，有很多當初理解不夠深入、靠短期突擊死記硬背、期末一過就忘干凈了的地方。其實是很沒有資格對這本書做出評價的。所以一開始老師希望我寫一篇介紹的時候，我磨磨蹭蹭一個學期不予回復。但畢竟盛情難卻，而且我在入選蘇班及其預備班的時候兩次得到老師的推薦，再拖沓就顯得太不禮貌了。那么就硬着頭皮寫一點自己的見解吧。
和第二版相比，新版白皮書的改動體現在很多方面。首先題量確實是明顯地擴充了（按老師自己的說法，希望這本書不僅對初學高代的同學有明顯的幫助，對准備大學生數學競賽或者考研的讀者也能起到應有的作用），全書篇幅所多出的三分之二中大部分是例題。不過題量多也並非一定代表題海戰術：本書中的例題不是（如某些教材和習題集一樣）隨意堆放，而是按次序、按類別設置的。即每個章節的習題按照由淺入深、思路由簡單到復雜的順序安排，最初幾道題往往是十分淺顯的預備結論，這樣就保證了數學基礎一般的同學也能逐漸深入並有所收獲（而不是直接被最后超難的習題嚇倒）；而后面一些例題在解答過程中靈活運用了先前習題的結果，能讓讀者體會到，有些習題盡管沒有在課堂上直接講授，但它們和課本內容形成了一個有機的整體，本身都是應當掌握的結論。另外對於某些典型技巧，如求行列式的各類方法、跡的應用、攝動法、同時標准化理論（也包括對角化和上三角化）、半正定陣的應用、歐氏空間中矩陣的各類分解等，課程中往往沒有機會予以詳細講解，在書中都專門安排了進一步的講解和相關例題（同樣按照由淺入深的順序），這是我認為做得很用心的一個地方。
在習題方面本書的另外一個特別之處，同時也是與第二版白皮書甚至其它常見的教材與習題集（不局限於高代）作顯著區分的地方是，書中對同一道例題列出了盡可能多的解法，有時在引入了新工具的時候，還據此對前面各章的例題給出另外的解答。假如全部認真對待的話，不僅可以深化對各知識點的理解，也能大幅度地拓寬讀者思考問題的角度，對知識的活學活用有很大幫助。
除解題技巧之外，本書還有其他可圈可點之處，例如對讀者抽象思維的培養。首先體現在對矩陣與線性映射兩種語言的同等強調，及對其靈活轉換的有意鍛煉：本書第四章在引入線性映射概念之后，專門用了一節的篇幅來對兩種方法進行了比較，其后也時常對應用某一種語言的習題予以翻譯並用另一種方法解答，或提示讀者自行嘗試；由於矩陣語言較形象而線性映射語言較抽象，這種做法若能得以推廣，也有利於讀者（尤其是初學高代的數學系大一同學）數學思維的形成（然而本書第二版中對此較少提及，也許是把這當做了理所應當由讀者自己完成的事情了吧，略顯遺憾）。另外還集中體現在本書第三章：全書的各部分均有不同程度的擴充，而在高代I所涉及內容（前五章）中，第三章的變動幅度尤其大。這當然在一定程度上是由於本章內容要多聯系第二章的方法，為第四章兩種語言的結合做准備；但另一方面也源於對線性空間本身的重視。畢竟對一個集合來說，線性結構與拓撲結構都是十分常見的，並且它們對各類具體問題的解決也提供了巨大的幫助，數院的同學如果能在大一的時候就對線性空間及同構等概念比較熟悉，那么在學習抽象代數的時候遇到更一般化的相同概念時就不會覺得很陌生，而在學習泛函的時候在線性空間中賦予拓撲，理解起新的概念也會更有效率。（這兩點是本書比較深刻的地方，也是我當時學得很不好的地方，在此勉勵初學者不畏困難、認真對待）
為了改正第二版白皮書在順序安排上的一些問題，本書還調整了第八和第九章的一些小節的順序，確保結構清晰。另外，本書還加入了一些打星號的章節，例如矩陣的Kronecker積及其特征值問題、一般數域上的相似標准型、矩陣的廣義逆等，以滿足不同類型讀者的需要。
新版白皮書中最特殊的、也是我個人最欣賞的地方，是（書中時常出現的）對知識的分析與總結。例如P91、P114-116、P132-133、P184-187、P190-191、P302、P338、P361-363、P424-425、P429、P477-478等。個人認為，數學的學習中最重要的是對知識體系的理解，因為這樣建立起了一個框架，明確了各種知識和技巧的意義，學習起來（相當於向框架里填充內容）也就會更加清晰；反之即使通過大量做題而硬記住了一些東西，甚至考試成績也比較理想，過后也很容易迅速遺忘。同樣是已經學過的學科，體系理解的和沒有理解的，回憶起來的感覺也不一樣。而本書對各類重難點（尤其是課堂上不詳細講授的）都進行了分析與概括，既可以幫助基礎一般的同學建立框架，又可以供本來對知識有較好理解的讀者比較和印證，對讀者學好高代有本質上的作用。
最后說一點題外話：前段時間（16年初），復旦公布了2015年度本科教學貢獻獎的評審結果，從獲獎人員名單上看來，這個獎項的評審確實是公平公正、令人信服的。
13級 沈鐸
我大一學習高等代數的時候，做了舊版的白皮書的大部分習題。而在大三准備全國大學生數學競賽時，恰逢新版（第三版）的白皮書問世。在聽謝啟鴻教授講解了往屆數學競賽的高代試題之后，我發現白皮書幾乎囊括了每屆競賽高代試題的考點，甚至有的題目就是白皮書上例題的翻版。因此我選擇將新版的白皮書作為自己復習高代准備競賽考試的資料。不出所料的是，在2015年的全國大學生數學競賽中，高等代數的兩道題都是白皮書例題的變形，很輕松地就解決了。確實可以說，新版白皮書對於我自己復習高代、准備數學競賽起到了關鍵的作用。
由謝啟鴻教授主筆修訂的新版白皮書，在原版白皮書的基礎上，內容增加了許多。新版白皮書參考第三版高等代數學教材，對應地列出每一章的知識重點、難點，將重要的定理以及結論總結在每章的開頭，方便同學們課后的復習、總結。每一章節與教材緊密結合，將一些經典的教材中的習題作為例題給出了講解、解答，並且補充了許多高等代數中經典的問題，例如“同時對角化”問題，矩陣方程求解問題等等，不僅很好地夯實了同學們對課本基礎概念的理解，強化了對定理的掌握和運用，還拓廣了同學們的眼界和思維。在例題之后，還配備了難度有層次的訓練題及其解答，可以讓同學們在鞏固知識之后通過適當的訓練強化理解。
新版白皮書許多章節以解題方法為導向，對於某一類問題，詳細列舉出了可以采取的各類方法，並分門別類的安排了豐富的習題便於同學們鞏固學習；例如行列式問題列舉了遞推法、提取因子法、數學歸納法、升階法、拆分法等等，讓同學們可以清晰地了解解題方法大觀，在面對具體問題時靈活應用。對於同一問題，新版白皮書有時還給出了多種的解題思路，例如對於Jordan標准型的問題，幾何與代數結合的思想體現地十分清晰；而對於前面章節中的問題也經常隨着知識的深入可以在后面的章節看到另外一種的解答，前后呼應下可以讓同學們對高代的知識有一個前后的對比鞏固。
新版白皮書補充了一些趣味的拓展內容，供學有余力的同學探究，例如一般數域上的Jordan標准型、Kronecker積等，對於今后同學們在數學上的深入學習會很有幫助。
總的來說，新版白皮書可以說是高等代數學中五音繁會、氣象萬千的典藏，對於不同層次的代數學習都是很有幫助的參考資料，是凝聚了復旦大學數學系幾代導師教學經驗與思維成果的百科全書式的大作，值得廣大數學學習者的一再品讀！