本文收集了復旦大學數學學院 13 級到 17 級高等代數期中考試的精選大題, 其中一部分大題由習題課老師或任課老師自編而來, 一部分大題從兄弟院校的高等代數教材或學習指導書中的習題或考研試題改編而來, 也有一部分大題已經融入到復旦大學高等代數學習指導書 (第三版) 中了. 由於篇幅所限, 這里我們不公布這些精選大題的解答, 但會根據情況附加一些注解, 以供讀者參考.
本科 13 級高代 I 期中考試
三、(12分) 證明: 當 $n\geq2$ 時, 下列等式成立:
$$\left(\sum_{i=1}^n a_ic_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_id_i\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_id_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_ic_i\right)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(a_ib_j-a_jb_i)(c_id_j-c_jd_i).$$
四、(12分) 設 $K^n$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 維列向量空間, 任取 $K^n$ 中 $p+1$ 個列向量 $\gamma$, $\eta_1,\cdots,\eta_p$, 證明: 存在正整數 $m$ 和 $K$ 上的 $m\times n$ 階矩陣 $A$ 以及 $m$ 維列向量 $\beta$, 使得線性方程組 $Ax=\beta$ 的所有解都可以表示為 $\gamma+k_1\eta_1+\cdots+k_p\eta_p$, 其中 $k_1,\cdots,k_p\in K$.
五、(10分) 設 $P_{0}(x)\equiv 1$, $P_k(x)=x^k+a_{k,1}x^{k-1}+\cdots+a_{k,k}$ 為 $k$ 次實系數多項式, 其中 $1\leq k\leq n-1$. 對給定的正值函數 $w(x)>0$, 定義函數 $K(x,y)=\sqrt{w(x)w(y)}\sum\limits_{k=0}^{n-1}P_k(x)P_k(y)$. 證明:
(1) $n$ 階方陣 $(P_{i-1}(x_j))_{n\times n}$ 的行列式等於 $\prod\limits_{1\leq i<j \leq n}(x_j-x_i)$;
(2) 對任意的正值函數 $f(x)>0$, 如下等式成立: $$\det\left(\frac{f(x_i)}{f(x_j)}K(x_i,x_j)\right)_{n\times n}=\prod_{1\leq i<j \leq n}(x_i-x_j)^2\prod_{j=1}^n w(x_j).$$
六、(10分) 設 $A,B$ 是數域 $K$ 上的 $m\times n$ 階矩陣, 證明:
$$r(A)+r(B)+r(A+B)\geq r(A\,\,B)+r \begin{pmatrix} A \\ B \\ \end{pmatrix},$$
其中 $(A\,\,B)$ 和 $\begin{pmatrix} A \\ B \\ \end{pmatrix}$ 分別是 $A$ 和 $B$ 左右並列和上下並列得到的分塊矩陣.
七、(10分) $n$ 階方陣 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 的 $n$ 個子式 $$A\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & k \\ 1 & 2 & \cdots & k \end{pmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \\ \end{vmatrix},\,\,k=1,2,\cdots,n,$$ 稱為方陣 $A$ 的順序主子式. 設 $n$ 階實方陣 $A$ 的順序主子式都是正的, 並且非主對角線上的元素都是負的, 證明: 逆陣 $A^{-1}$ 的每個元素都是正的.
注 第三大題利用 Cauchy-Binet 公式來做; 第四大題和白皮書例 3.96 有關; 第五大題利用 Vander Monde 行列式來做; 第六大題利用分塊矩陣的初等變換來做, 請參考白皮書 $\S$ 3.2.6; 第七大題利用數學歸納法和分塊初等變換求逆陣的方法來做.
本科 13 級高代 II 期中考試
四、(10分) 設數域 $\mathbb{K}$ 上的三階矩陣 $A,B,C,D$ 具有相同的特征多項式, 證明: 其中必有兩個矩陣在 $\mathbb{K}$ 上相似.
五、(10分) 設 $A$ 是 $n$ 階可逆復方陣, 證明: 存在可逆陣 $B$, 使得 $B^2=A$.
六、(10分) 設 $A$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣, 並且存在 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣 $B$, 使得 $AB-BA=aI_n+A$, 其中 $a\in\mathbb{K}$, 試求 $A$ 的特征多項式.
七、(10分) 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 其極小多項式 $m(\lambda)$ 和特征多項式 $f(\lambda)$ 在 $\mathbb{K}$ 上的不可約因式分解為 $$m(\lambda)=P_1(\lambda)^{e_1}P_2(\lambda)^{e_2}\cdots P_t(\lambda)^{e_t},$$ $$f(\lambda)=P_1(\lambda)^{r_1}P_2(\lambda)^{r_2}\cdots P_t(\lambda)^{r_t},$$ 其中 $P_1(\lambda),\cdots,P_t(\lambda)$ 是 $\mathbb{K}$ 上互異的首一不可約多項式. 證明: 對任意的 $1\leq j \leq t$,
(1) 線性變換 $P_j(\varphi)^{e_j}$ 和 $P_j(\varphi)^{r_j}$ 有相同的核空間;
(2) 記 $W_j$ 為線性變換 $P_j(\varphi)^{e_j}$ 的核空間, 則 $\varphi|_{W_j}$ 的極小多項式為 $P_j(\varphi)^{e_j}$.
注 第五大題是白皮書例 7.44 的特例; 第六大題和白皮書例 6.18 有關, 請參考博文《一道高等代數常見習題的自然延伸》; 第七大題是白皮書例 7.21 的一部分.
本科 14 級高代 I 期中考試
五、(10分) 對矩陣 $A = (a_{ij})_{n\times n}$ 的行列式等價定義展開式中的每一項 $(-1)^{N(k_1,k_2,\dots,k_n)} a_{k_1 1} a_{k_2 2} \cdots a_{k_n n}$, 其中 $(k_1,k_2,\dots,k_n) \in S_n$, 若其取值為正, 稱其為正項; 若其取值為負, 稱其為負項. 求下面行列式的展開式中有多少項為正項?
$$ \begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 & \cdots & -1\\ 1 & 1 & -1 & \cdots & -1\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & -1\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\ \end{vmatrix}.$$
六、(10分) 設數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣 $A$ 滿足 $A^2 = A$, 且 $V_1, V_2$ 分別是齊次線性方程組 $Ax=0$ 和 $(I_n-A)x=0$ 在 $\mathbb{K}^n$ 中的解空間, 求證: $\mathbb{K}^n = V_1\oplus V_2$.
七、(10分) 設 $n$ 階方陣 $A$ 的每行元素之和以及每列元素之和都為 $0$, 求證: $A$ 的各元素的代數余子式 $A_{ij}$ 都相等.
注 第五大題利用行列式的組合定義來做; 第六大題是白皮書例 5.74 的特例; 第七大題已入選白皮書第二章解答題第 14 題.
本科 14 級高代 II 期中考試
三、(14分) 已知 6 階矩陣 $A$ 的行列式因子 $D_1(\lambda),\cdots,D_6(\lambda)$ 滿足 $\lambda^3\mid D_5(\lambda)$, 但 $\lambda^5$ 不能整除 $D_6(\lambda)$, 試求 $A$ 的 Jordan 標准型.
四、(10分) 設 $n$ 階方陣 $A,B,C,D$ 中 $A,C$ 可逆, 求證: 存在可逆矩陣 $P,Q$, 使得 $$A=PCQ, \qquad B=PDQ$$ 的充分必要條件是 $\lambda A-B$ 與 $\lambda C-D$ 具有相同的不變因子.
五、(10分) 設 6 階矩陣 $A=\begin{pmatrix} a & -b & 0 & 0 & 0 & 0 \\ b & a & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & -b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a & -b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b & a \end{pmatrix}$, 其中 $a,b$ 都是實數且 $b\neq 0$, 試求 $A$ 的 Jordan 標准型.
六、(10分) 設 $a_i\,(i=1,\cdots,n)$ 都是實數且 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$, 證明下列矩陣可對角化:
$$ A=\begin{pmatrix} a_1^2+1 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1\\ a_2a_1+1 & a_2^2+1 & \cdots & a_2a_n+1\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2+1\\ \end{pmatrix}. $$
七、(10分) 設 $n$ 階實矩陣 $A$ 的所有特征值都是正實數, 證明: 對任一實對稱陣 $C$, 存在唯一的實對稱陣 $B$, 滿足 $A'B+BA=C$.
注 第四大題利用數字矩陣的相似等價於特征矩陣的相抵; 第五大題是實矩陣的廣義 Jordan 塊, 請參考白皮書 $\S$ 7.2.11; 第六大題中的矩陣是實對稱陣, 它可對角化由第九章內積空間中的定理即得, 但本題作為期中試題只能用第六章中可對角化的判定來證明; 第七大題和白皮書例 6.65 有關, 也和白皮書例 9.61 有關.
本科 15 級高代 I 期中考試
六、(10分) 設 $n$ 階矩陣 $A=\begin{pmatrix} a_1^2-1 & a_1a_2 & \cdots & a_1a_n \\ a_2a_1 & a_2^2-1 & \cdots & a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_na_1 & a_na_2 & \cdots & a_n^2-1 \\ \end{pmatrix}$, 證明: $r(A)\geq n-1$, 並確定等號成立的充要條件.
七、(10分) 設 $M_2(\mathbb{R})$ 是二階實矩陣全體構成的實線性空間, $V$ 是 $M_2(\mathbb{R})$ 的子空間, 滿足 $V$ 中所有的非零矩陣都是可逆矩陣. 證明: $\dim V\leq 2$, 並舉例說明可以找到 $M_2(\mathbb{R})$ 的滿足上述性質的二維子空間.
注 第六大題利用矩陣秩的降階公式; 第七大題的結論可以推廣到 $n$ 階實矩陣的情形, 請參考 15 級高代 I 思考題的第 7 題.
本科 15 級高代 II 期中考試
二、(10分) 設 $A$ 為數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣, 滿足 $r(A-I_n)+r(A^2+A+I_n)=n$, 證明: $A$ 在復數域上可對角化.
四、(14分) 設矩陣 $A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ b&a+1&0&0 \\ 3&b&2&0 \\ 5&4&a&2 \\ \end{pmatrix}$, 試求 $A$ 的一切可能的 Jordan 標准型, 並給出 $A$ 可對角化的充分必要條件.
五、(10分) 設 $\varphi,\psi$ 為 $n$ 維復線性空間 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi+\psi+\varphi\psi=0$. 問: 是否存在線性空間 $V$ 的一組基, 使得 $\varphi,\psi$ 在這組基下的表示矩陣均為上三角矩陣? 若存在, 請證明; 若不存在, 請舉出例子.
六、(10分) 設 $\varphi$ 是數域 $K$ 上 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 其極小多項式為 $m(\lambda)$. 設 $\alpha$ 是 $V$ 中非零向量, 由 $\{\alpha,\varphi(\alpha),\varphi^2(\alpha),\cdots\}$ 張成的子空間 $C(\varphi,\alpha)$ 稱為 $\varphi$ 關於循環向量 $\alpha$ 的循環子空間.
(1) 證明: $m(\lambda)$ 為 $K$ 上的不可約多項式的充分必要條件是 $V$ 的任一非零 $\varphi$-不變子空間 $U$ 必為如下形式: $U=C(\varphi,\alpha_1)\oplus C(\varphi,\alpha_2)\oplus\cdots\oplus C(\varphi,\alpha_k)$, 並且 $\varphi|_{C(\varphi,\alpha_i)}\,(1\leq i\leq k)$ 的極小多項式都是 $m(\lambda)$.
(2) 試構造四維實列向量空間上的線性變換 $\varphi$, 使得其極小多項式是二次不可約實系數多項式, 並驗證 $\varphi$ 有無限個不變子空間.
七、(10分) 設 $A$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣, 遞歸地定義矩陣序列 $\{A_k\}_{k=1}^\infty$:
$$A_1=A,\,\,\,\,p_k=-\frac{1}{k}\mathrm{tr}(A_k),\,\,\,\,A_{k+1}=A(A_k+p_kI_n),\,\,k=1,2,\cdots.$$
求證: $A_{n+1}=0$.
注 第二大題與白皮書的例 5.73 和例 7.9 有關; 第五大題與白皮書的例 6.50 有關; 第六大題是教學論文《循環子空間的進一步應用》的定理 1; 第七大題利用數學歸納法以及 Cayley-Hamilton 定理來做.
本科 16 級高代 I 期中考試
四、(10分) 設 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 階非零實矩陣, 其中 $n\geq 3$ 為奇數. 設 $A_{ij}$ 為 $a_{ij}$ 的代數余子式, 若對任意的 $1\leq i,j\leq n$, $a_{ij}+A_{ij}=0$ 成立, 試求 $|A|$ 的值.
五、(10分) 設 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $n$ 個兩兩不同的實數, 求證: 在實數域上連續函數全體構成的線性空間 $V$ 中, 向量組 $\{e^{\alpha_1x^2},e^{\alpha_2x^2},\cdots,e^{\alpha_nx^2}\}$ 線性無關.
六、(10分) 設 $n$ 階方陣 $A$ 為奇異陣且滿足 $\mathrm{tr\,}(A^*)=0$, 求證: $(A^*)^2=0$.
七、(10分) 設 $M_n(K)$ 為數域 $K$ 上 $n$ 階方陣全體構成的線性空間, $W$ 是由 $M_n(K)$ 的子集 $\{AB-BA\mid A,B\in M_n(K)\}$ 張成的子空間, 試求 $W$ 的維數及其一組基.
注 第四大題與白皮書例 2.21 和例 2.26 相關; 第五大題與白皮書第三章解答題第 3 題相關; 第六大題與白皮書例 3.77 和例 2.11 相關; 第七大題與白皮書例 2.40 和基礎矩陣的性質 (白皮書第 55 頁) 相關, 注意本題不必利用白皮書例 7.54 的結論 (這個結論太強, 並用到了 Jordan 標准型理論).
本科 16 級高代 II 期中考試
四、(10分) 求證: 存在 $n$ 階實方陣 $A$, 滿足 $A^2+2A+5I_n=0$ 的充分必要條件是 $n$ 為偶數.
五、(10分) 設 $n$ 階復矩陣 $A,B$ 滿足 $AB-BA=\mu B$, 其中 $\mu$ 為非零復數. 證明: 若 $A$ 的全體不同特征值只有 $k$ 個, 則 $$\sum_{\lambda\in\mathbb{C}}\Big(n-r(\lambda I_n-A)\Big)\leq n-r(B^k).$$
六、(10分) 設 $V$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi$ 的極小多項式等於其特征多項式. 設 $U$ 是 $V$ 的任一非零 $\varphi-$不變子空間, 證明: 限制變換 $\varphi|_U$ 的極小多項式也等於其特征多項式.
七、(10分) 設 $V$ 是 $n$ 階復矩陣構成的線性空間, $V$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\varphi(X)=AXA'$, 證明: $\varphi$ 可對角化的充分必要條件是 $A$ 可對角化.
注 第四大題是有理標准型的直接應用; 第五大題的推廣請參考博文《一道高等代數常見習題的自然延伸》; 第六大題請參考博文《Jordan 塊的幾何》; 第七大題與白皮書例 6.71 有關.
本科17級高代 I 期中考試
四、(12分) 證明: 對任一 $n$ 階方陣 $M$, 存在反對稱陣 $A$, 跡為零的對稱陣 $B$, 常數 $c$, 使得 $M=A+B+cI_n$, 並且 $tr(M^2)=tr(A^2)+tr(B^2)+\dfrac{1}{n}\big(tr(M)\big)^2$.
五、(12分) 設 $a, b, c$ 為實數, 求循環矩陣 $A=\left( \begin{array}{ccc} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{array} \right)$ 的秩.
六、(10分) 設矩陣 $A,B,C,D$ 滿足 $r\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{pmatrix}=r(A)$, 證明: 存在矩陣 $M,N$, 使得 $C=MA$, $B=AN$, $D=MAN$.
七、(10分) 設 $n$ 階實方陣 $A=(a_{ij})$, 其中 $a_{ij}=-a_{ji}\,(\forall\,i\neq j)$ 且 $a_{ii}\geq 0\,(1\leq i\leq n)$,證明: $|A|\geq 0$.
注 第五大題的一種解法是初等變換+分類討論, 另一種解法可參考博文《循環矩陣的性質及其應用》; 第六大題利用線性方程組求解的判定定理 (矩陣未定元版本); 第七大題用攝動法.
本科17級高代 II 期中考試
四、(10分) 設 $n$ 階方陣 $A$ 的每行每列只有一個元素非零, 並且那些非零元素為 $1$ 或 $-1$, 證明: $A$ 的特征值都是單位根.
五、(10分) 設 $A$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣, 求證: $A$ 的極小多項式的次數小於等於 $r(A)+1$.
六、(10分) 設 $A, B$ 是兩個 $n$ 階復方陣, 且存在復數 $a, b$ 使得 $AB-BA=aA+bB$, 證明: 存在可逆矩陣 $P$, 使得 $P^{-1}AP$ 與 $P^{-1}BP$ 都是上三角矩陣.
七、(10分) 設 $A$ 為 $n\,(n\geq 2)$ 階復方陣, 滿足 $|A|=1$. 設 $A$ 與其伴隨矩陣 $A^*$ 都適合多項式 $(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\dfrac{1}{\lambda_1})^{m_1}\cdots(\lambda-\lambda_k)(\lambda-\dfrac{1}{\lambda_k})^{m_k}$, 其中 $\lambda_1,\dfrac{1}{\lambda_1},\cdots,\lambda_k,\dfrac{1}{\lambda_k}$ 是兩兩互異的非零復數, $m_1,\cdots,m_k$ 是正整數. 證明: $A$ 可對角化.
注 滿足第四大題條件的所有矩陣構成一個有限集合 $G$ (事實上, $G$ 是一個有限群), 並且 $A^k\,(k\geq 1)$ 都屬於 $G$, 因此必有 $A$ 的兩個冪次相等, 從而 $A$ 的某個冪次等於 $I_n$; 第五大題既可以用有理標准型來做, 也可以用 Jordan 標准型來做; 第六大題除了 $a=b=0$ 這種情況可以直接利用高代白皮書的例 6.50 來得到結論, 其余情形均可化簡到 $a=1,b=0$ 的情形, 然后利用高代白皮書的例 6.18 類似的方法以及歸納法來證明結論. 第八大題利用極小多項式以及 $A,A^*$ 的 Jordan 標准型之間的關系來證明, 或者利用高代白皮書的例 7.14 的結論來證明.