本文收集了復旦大學數學學院 08 級到 12 級高等代數期中考試的精選大題, 其中一部分大題由習題課老師或任課老師自編而來, 一部分大題從兄弟院校的高等代數教材或學習指導書中的習題或考研試題改編而來, 也有一部分大題已經融入到復旦大學高等代數學習指導書 (第三版) 中了. 由於篇幅所限, 這里我們不公布這些精選大題的解答, 但會根據情況附加一些注解, 以供讀者參考.
本科 08 級高代 I 期中考試
五、(10分) 設 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是數域 $K$ 中 $n$ 個不同的數, 整數 $k$ 滿足 $1\leq k\leq n-1$. 設 $$\mathrm{I}\left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2+\cdots+x_n &=& 0, \\ \lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n &=& 0, \\ \cdots\cdots & & \\ \lambda_1^{k-1}x_1+\lambda_2^{k-1}x_2+\cdots+\lambda_n^{k-1}x_n &=& 0, \\ \end{array}\right.$$ $$\mathrm{II}\left\{\begin{array}{rcl} \lambda_1^kx_1+\lambda_2^kx_2+\cdots+\lambda_n^kx_n &=& 0, \\ \cdots\cdots & & \\ \lambda_1^{n-1}x_1+\lambda_2^{n-1}x_2+\cdots+\lambda_n^{n-1}x_n &=& 0, \\ \end{array}\right.$$ 並且線性方程組 I 的解空間為 $V_1$, 線性方程組 II 的解空間為 $V_2$, 證明: $K^n=V_1\oplus V_2$.
六、(10分) 設 $A=(a_{ij})$ 是 $n\,(n\geq 2)$ 階非異整數方陣, 滿足對任意的 $i,j$, $|A|$ 均可整除 $a_{ij}$, 證明: $|A|=\pm 1$.
七、(10分) 設 $n$ 階方陣 $A$ 滿足 $A^m=A$, 其中 $m$ 為正偶數, 證明: $A+I_n$ 是非異陣.
本科 08 級高代 II 期中考試
二、(12分) 設 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 為多項式 $x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ 的 $n$ 個根, 證明: $x_2,\cdots,x_n$ 的任一對稱多項式均可表示為 $x_1$ 與 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的多項式.
三、(12分) 設 $A$ 為有理數域上的 $n$ 階方陣, $A$ 的特征多項式 $f(\lambda)=P_1(\lambda)P_2(\lambda)\cdots P_r(\lambda)$, 其中 $P_1(\lambda),P_2(\lambda),\cdots,P_r(\lambda)$ 為互異的首一不可約有理系數多項式. 證明: $A$ 的極小多項式等於 $f(\lambda)$, 並且 $A$ 復相似於對角陣.
六、(10分) 設 $A$ 為數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣, 證明: 若 $A$ 的所有特征值都等於 1 或 $-1$, 則 $A$ 相似於 $A^{-1}$. 舉例說明此命題的逆命題不成立.
七、(10分) 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, $B=\begin{pmatrix} A & -A^2 \\ A^2 & A \\ \end{pmatrix}$ 為 $2n$ 階復方陣. 證明: 若 $A$ 可對角化, 則 $B$ 也可對角化.
注 第三大題已入選白皮書例 7.19; 第六大題已入選白皮書例 7.8; 第七大題與白皮書例 6.33 類似.
本科 09 級高代 I 期中考試
三、(12分) 令 $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$. 證明: 當 $n\geq 3$ 時, 下列 $n$ 階行列式等於零:
$$\begin{vmatrix}\sinh(2\alpha_1) & \sinh(\alpha_1+\alpha_2) & \cdots & \sinh(\alpha_1+\alpha_n) \\ \sinh(\alpha_2+\alpha_1) & \sinh(2\alpha_2) & \cdots & \sinh(\alpha_2+\alpha_n) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \sinh(\alpha_n+\alpha_1) & \sinh(\alpha_n+\alpha_2) & \cdots & \sinh(2\alpha_n) \end{vmatrix}=0.$$
五、(14分) 對於任意的實數 $a,b$，計算下列 $n$ 階行列式的值:
$$D_n=\begin{vmatrix} ba+1& a & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ b & ba+1 & a & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & b & ba+1 & a & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & b & ba+1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & ba+1 & a \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & b & ba+1 \\ \end{vmatrix}.$$
六、(10分) 我們稱實數域上無窮次可微的函數為光滑函數. 實數域上光滑函數的全體構成的集合, 記為 $C^{\infty}(\mathbb{R})$. 對於任意的 $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$, 定義 $f$ 的支撐集為 $\mathrm{Supp\,}f =\{x\in\mathbb{R}\mid f(x)\neq 0\}$. 集合 $C^{\infty}(\mathbb{R})$ 中, 支撐集為有界集的函數全體構成 $C^{\infty}(\mathbb{R})$ 的子集, 記這個子集為 $C^{\infty}_c(\mathbb{R})$.
(1) 證明: 集合 $C^{\infty}(\mathbb{R})$ 和集合 $C^{\infty}_c(\mathbb{R})$ 都是線性空間.
(2) 對於任意的正整數 $n$, 設 $f_n\in C^{\infty}_c(\mathbb{R})$ 並且有 $B_n\subset\mathrm{Supp\,}f_n \subset B_{n+1}$, 這里 $B_n=\{x\in\mathbb{R}||x|\leq n\}$. 求證: 集合 $\{f_n\}^{\infty}_{n=1}$ 中, 任意有限個元素都線性無關.
七、(10分) 設矩陣 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 階矩陣, $A$ 的 $n$ 個子式:
$$A_k=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix},\,\,k=1,2,\cdots,n,$$ 稱為 $A$ 的順序主子式. 如果 $A$ 的順序主子式都不為零, 證明:
(1) 下三角矩陣乘下三角矩陣是下三角矩陣, 可逆下三角矩陣的逆矩陣是下三角矩陣.
(2) 存在可逆下三角矩陣 $B$ 和可逆上三角矩陣 $C$, 使得 $A=BC$.
注 第三大題用 Cauchy-Binet 公式來做; 第五大題是白皮書例 1.23 的特例; 第七大題稱為矩陣的 LU 分解.
本科 09 級高代 II 期中考試
二、(12分) 設 $f(x)=x^{n+1}-(x+1)^{2n+1}$. 證明: 對任意的非負整數 $n$, 結式 $R(x^2+x+1,f(x))\neq 0$.
五、(12分) 試求方陣 $A=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ a+2&1&0&0\\ 5&3&1&0\\ 7&6&b+4&1 \end{pmatrix}$ 的 Jordan 標准型, 其中 $a,b$ 為常數.
六、(10分) 設 $A$ 為有理數域上的 $n$ 階方陣, 其特征多項式為$P_1(\lambda)P_2(\lambda)\cdots P_k(\lambda)$, 其中 $P_i(\lambda)\,(1\leq i\leq
k)$ 是有理數域上互異的首一不可約多項式. 證明: $A$ 的有理標准型只有一個 Frobenius 塊, 並且 $A$ 復相似於對角陣.
七、(10分) 設 $N$ 為復數域上的 $n$ 階方陣, 滿足 $N^n=0$ 但 $N^{n-1}\neq 0$. 問: 是否存在正整數 $k>1$ 以及矩陣 $A$, 滿足 $A^k = N$? 若存在, 請給出例子. 若不存在, 請給出證明.
注 第五大題入選白皮書例 7.30; 第六大題入選白皮書例 7.19; 第七大題請參考白皮書例 7.44 的注.
本科 10 級高代 I 期中考試
三、(10分) 設 $A$ 與 $B$ 都是實對稱陣, $C$ 是實反對稱陣, 滿足 $A^2+B^2=C^2$. 證明: $A=B=C=0$.
四、(12分) 設 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 是 $n$ 個互不相同的實數. 證明: $e^{a_1x},e^{a_2x},\cdots,e^{a_nx}$ 在實數域 $\mathbb{R}$ 上線性無關.
五、(12分) 下列矩陣稱為 $n$ 階循環矩陣 $$A=\begin{pmatrix} a_0& a_1 & a_2 & \cdots & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_0 & a_1 & \cdots & \cdots & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_0 & \cdots & \cdots &a_{n-3} \\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots \\ a_2& a_3 & a_4 & \cdots & a_0 & a_1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_{n-1} & a_0 \\ \end{pmatrix}.$$
證明: 由數域 $K$ 上全體 $n$ 階循環矩陣構成的集合 $W$ 是 $M_n(K)$ 的線性子空間, 並求 $W$ 的維數.
七、(12分) 設 $A$ 是 $n$ 階方陣, 證明: $A^3=I_n$ 當且僅當 $r(I_n-A)+r(I_n+A+A^2)=n$.
注 第三大題和白皮書例 2.43 類似, 都是矩陣跡的應用; 第四大題已入選白皮書第三章解答題第 3 題; 第五大題由白皮書例 2.12 即得; 第七大題是白皮書例 5.73 的特例.
本科 10 級高代 II 期中考試
四、(12分) 設 $A=\begin{pmatrix} 1 & a & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 &-1\\ -3 & 4& 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, 其中 $a$ 為參數, 試求 $A$ 的 Jordan 標准型.
五、(12分) 設 $n$ 階方陣 $A$ 的特征值全為 $1$ 或 $-1$, 證明: $A^{-1}$ 與 $A$ 相似.
六、(10分) 設 $A$ 和 $B$ 分別為 $m\times n$ 和 $n\times m$ 階矩陣, 其中 $m\leq n$. 若 $AB$ 可對角化且 $|AB|\neq 0$, 證明: $BA$ 也可對角化.
七、(10分) 設 $A$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣, 若 $A$ 相似於 $K$ 上的分塊對角矩陣, 其中每個分塊的階數都小於 $n$, 則稱 $A$ 是 $K$ 上的可約矩陣; 反之, 則稱 $A$ 是 $K$ 上的不可約矩陣. 證明: $A$ 在數域 $K$ 上不可約當且僅當 $A$ 的極小多項式 $m(\lambda)$ 等於 $A$ 的特征多項式 $f(\lambda)$, 並且存在數域 $K$ 上的不可約多項式 $p(\lambda)$ 和正整數 $k$, 使得 $m(\lambda)=p(\lambda)^k$.
注 第五大題已入選白皮書例 7.8; 第六大題已入選白皮書例 6.46; 第七大題請參考教學論文《線性變換的特征多項式誘導的直和分解》的例 2.
本科 11 級高代 I 期中考試
二、(12分) 求 $n\,(n\geq 3)$ 階行列式 $|A|$ 的值:
$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & \cos(\theta_1-\theta_2) & \cos(\theta_1-\theta_3) & \cdots & \cos(\theta_1-\theta_n) \\ \cos(\theta_2-\theta_1) & 1 & \cos(\theta_2-\theta_3) & \cdots & \cos(\theta_2-\theta_n) \\ \cos(\theta_3-\theta_1) & \cos(\theta_3-\theta_2) & 1 & \cdots & \cos(\theta_3-\theta_n) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \cos(\theta_n-\theta_1) & \cos(\theta_n-\theta_2) & \cos(\theta_n-\theta_3) & \cdots & 1 \\ \end{vmatrix}.$$
五、(12分) 設 $n$ 階實方陣 $A$ 滿足 $A^{2m}+I_n=0$, 其中 $m$ 為正整數. 證明: 對任意的實數 $a$, $A+aI_n$ 都是非異陣.
六、(10分) 設 $1\leq k\leq n-1$, 在下面兩個數域 $K$ 上的線性方程組中, $\hat{x}_i$ 表示 $x_i$ 不出現在方程中.
$$I \left\{\begin{array}{c} \hat{x}_1+\cdots+x_k+x_{k+1}+\cdots+x_n=0, \\ \vdots \\ x_1+\cdots+\hat{x}_k+x_{k+1}+\cdots+x_n=0, \end{array}\right.$$
$$II \left\{\begin{array}{c} x_1+\cdots+x_k+\hat{x}_{k+1}+\cdots+x_n=0, \\ \vdots \\ x_1+\cdots+x_k+x_{k+1}+\cdots+\hat{x}_n=0. \end{array}\right.$$
設方程組 I 的解空間為 $V_1$, 方程組 II 的解空間為 $V_2$. 求證: $K^n=V_1\oplus V_2$.
七、(10分) 設 $A$ 是 $n$ 階方陣, 證明: $r(A^n)=r(A^{n+1})=r(A^{n+2})=\cdots$.
注 第二大題利用 Cauchy-Binet 公式來做; 第七大題已入選白皮書例 4.32.
本科 11 級高代 II 期中考試
四、(12分) 設 $B$ 是復數域上的 $n$ 階冪零矩陣, 其冪零指數為 $\ell\geq 1$, 即 $B^{\ell}=0$, 但 $B^{\ell-1}\neq 0$. 證明: $\ell\leq 1+r(B)$, 並求出等號成立的充分必要條件.
五、(12分) 如果 $n$ 階方陣 $R$ 相似於分塊對角陣 $\mathrm{diag}\left\{\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix},1,\cdots,1\right\}$, 則稱方陣 $R$ 為反射陣. 證明: 任一對合方陣 $A$ (即滿足 $A^2=I_n$) 都可分解為有限個反射陣的乘積.
六、(10分) 設 $n$ 階可逆復方陣 $A$ 的極小多項式的次數為 $s$, $B=(b_{ij})$ 是 $s$ 階方陣, 其中 $b_{ij}=\mathrm{tr}(A^{i+j})$, $1\leq i,j\leq s$. 證明: 方陣 $A$ 可對角化的充分必要條件是 $B$ 為非異陣.
七、(10分) 設 $V$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換. 若存在非零向量 $\alpha_0 \in V$, 使得由向量 $\alpha_0,\varphi(\alpha_0),\varphi^2(\alpha_0),\cdots,\varphi^n(\alpha_0),\cdots$ 張成的子空間等於 $V$, 則稱向量 $\alpha_0$ 為 $\varphi$ 的循環向量. 證明: $V$ 的每個非零向量都是 $\varphi$ 的循環向量的充分必要條件為 $\varphi$ 的特征多項式 $f(\lambda)$ 是 $K$ 上的不可約多項式.
注 第五大題已入選白皮書例 7.16; 第六大題已入選白皮書例 7.12; 第七大題請參考教學論文《線性變換的特征多項式誘導的直和分解》的例 3 或《循環子空間的若干應用》的命題 1.
本科 12 級高代 I 期中考試
三、(10分) 設 $n$ 階行列式
$$D_k=\begin{vmatrix} 1 &1 &\cdots &1 &0 &1 &\cdots &1\\ x_1 &x_2 &\cdots &x_{k-1} &1 &x_{k+1} &\cdots &x_n\\ x_1^2 &x_2^2 &\cdots &x_{k-1}^2 &2x_k &x_{k+1}^2 &\cdots &x_n^2\\ x_1^3 &x_2^3 &\cdots &x_{k-1}^3 &3x_k^2 &x_{k+1}^3 &\cdots &x_n^3\\ \vdots &\vdots & \vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots & \vdots\\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} &\cdots &x_{k-1}^{n-1} &(n-1)x_k^{n-2} &x_{k+1}^{n-1} & \cdots &x_n^{n-1}
\end{vmatrix},\,\,1\leq k\leq n.$$
試求 $\sum\limits^{n}_{k=1}D_k$ 的值.
五、(15分) 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n$ 階上三角陣, 其主對角線上元素 $a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$ 互不相同.
(1) 設 $n$ 階方陣 $B$ 與 $A$ 可交換, 即滿足 $AB=BA$, 證明 $B$ 也是上三角陣.
(2) 設 $A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ 0 &0 &1\\ 0 &0 &-1 \end{pmatrix}$, $V=\{B\in M_3(\mathbb{R})\,|\,AB=BA\}$. 證明 $V$ 是 $M_3(\mathbb{R})$ 的子空間, 並求 $V$ 的維數.
六、(15分) 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n\,(n\geq 2)$ 階方陣, $A^*$ 為 $A$ 的伴隨陣, 試證明以下結論.
(1) 若 $r(A)=n$, 則 $r(A^*)=n$.
(2) 若 $r(A)=n-1$, 則 $r(A^*)=1$, 且存在 $n$ 維列向量 $\alpha$, $\beta$, 使得 $A^*=\alpha\beta'$.
(3) 若 $r(A)\leq n-2$, 則 $r(A^*)=0$, 即 $A^*=0$.
七、(10分) 設 $V$ 是數域 $K$ 上的線性空間, $U$ 是 $V$ 的子空間. 若 $W$ 是 $V$ 的子空間且滿足 $V=U\oplus W$, 則稱 $W$ 為 $U$ 在 $V$ 中的補空間. 證明: 若 $U$ 是 $V$ 的非平凡子空間, 則 $U$ 在 $V$ 中的補空間有無限多個.
注 第三大題利用 Vander Monde 行列式的求導來做.
本科 12 級高代 II 期中考試
四、(12分) 設 $\lambda_0$ 是 $n$ 階方陣 $A$ 的一個特征值, $\mathrm{diag}\{d_1(\lambda),d_2(\lambda)$,$\cdots,d_n(\lambda)\}$ 為 $\lambda I_n-A$ 的法式. 證明: $r(\lambda_0I_n-A)=r$ 當且僅當 $(\lambda-\lambda_0)\nmid d_r(\lambda)$ 但 $(\lambda-\lambda_0)|d_{r+1}(\lambda)$.
五、(12分) 設 $A$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 階方陣, $f(\lambda)=|\lambda I_n-A|$ 是 $A$ 的特征多項式, $g(\lambda)=\dfrac{f(\lambda)}{(f(\lambda),f'(\lambda))}$. 證明: $A$ 在復數域上可對角化的充分必要條件是 $g(A)=0$.
六、(10分) 設 $V$ 是數域 $K$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換. 證明: 存在空間的直和分解 $V=V_1\oplus V_2$, 使得 $V_1,V_2$ 都是 $\varphi$ 的不變子空間, 且$\varphi|_{V_1}$ 是冪零線性變換, $\varphi|_{V_2}$ 是可逆線性變換.
七、(10分) 設 $A$ 為 $n$ 階非異復方陣, 證明: 對任意的正整數 $m$, 存在 $n$ 階復方陣 $B$, 使得 $A=B^m$.
注 第五大題請參考白皮書例 7.12 前的一段話; 第六大題已入選白皮書例 7.65; 第七大題已入選白皮書例 7.44.