矩陣非異性的判定是高等代數教學中的一個重點. 一般來說, 判定非異矩陣的常見方法有五種, 分別是:
(i) 行列式的計算 (參考高代白皮書第 1 章);
(ii) 湊因子法 (參考高代白皮書第 2.2.3 節);
(iii) 線性方程組求解理論的應用 (參考高代白皮書第 3.2.6 節的第 2 部分);
(iv) 互素多項式的應用 (參考高代白皮書第 5.2.9 節);
(v) 特征值的計算 (參考高代白皮書第 6.2.1 節).
以下是復旦大學數學學院 19 級高等代數 I 期中考試的第七大題, 重點考察線性方程組求解理論在證明矩陣非異性上的應用, 即方陣 $A$ 為非異陣當且僅當對應的齊次線性方程組 $Ax=0$ 只有零解.
第七大題 設 $A$ 為 $m$ 階實反對稱陣, $C$ 為 $n$ 階實反對稱陣, $B$ 為 $m\times n$ 階實矩陣. 證明: $A+I_m$ 和 $C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B$ 都是非異陣.
首先, 我們引用一個常見的結論, 它給出了反對稱陣的刻畫, 是反對稱陣最本質的性質之一.
引理 (高代白皮書的例 2.3) 設 $S$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣, 則 $S$ 為反對稱陣當且僅當對任意的 $\alpha\in\mathbb{K}^n$, 均有 $\alpha'S\alpha=0$.
第七大題的證明 任取線性方程組 $(A+I_m)x=0$ 的一個解 $x_0=(a_1,a_2,\cdots,a_m)'\in\mathbb{R}^m$, 即有 $(A+I_m)x_0=0$. 在等式的兩邊同時左乘 $x'_0$, 由引理可得 $$0=x'_0(A+I_m)x_0=x'_0x_0=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_m^2,$$ 於是 $a_1=a_2=\cdots=a_m=0$, 即有 $x_0=0$, 從而由線性方程組求解理論可知 $A+I_m$ 為非異陣. 關於矩陣 $C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B$ 的非異性, 我們給出三種不同的證法.
證法一 由矩陣 $C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B$ 的特殊性, 反向利用降階公式, 構造一個 $m+n$ 階矩陣 $M=\begin{pmatrix} A+I_m & B \\ B' & C-I_n \\ \end{pmatrix}$. 由降階公式可知 $|M|=|A+I_m|\cdot|C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B|$, 故要證明 $C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B$ 非異, 只要證明 $M$ 非異即可. 任取 $M\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=0$ 的一個解 $\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{m+n}$, 即有 $$\left\{\begin{array}{rcc} (A+I_m)x_0+By_0 &=& 0, \\ B'x_0+(C-I_n)y_0 &=& 0. \\ \end{array}\right.$$ 上述第一個方程左乘 $x'_0$, 第二個方程左乘 $y'_0$, 然后兩個等式相減. 利用引理並注意到 $x'_0By_0=(x'_0By_0)'=y'_0B'x_0$, 最后可得 $x'_0x_0+y'_0y_0=0$, 於是 $x_0=0$, $y_0=0$, 從而由線性方程組求解理論可知 $M$ 為非異陣.
證法二 對證法一中的分塊矩陣 $M$ 的第二分塊行左乘 $-I_n$ (第二類分塊初等變換), 可得分塊矩陣 $$N=\begin{pmatrix} A+I_m & B \\ -B' & -C+I_n \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & B \\ -B' & -C \\ \end{pmatrix}+I_{m+n}.$$ 注意到 $\begin{pmatrix} A & B \\ -B' & -C \\ \end{pmatrix}$ 是實反對稱陣, 故由第一個結論可知 $N$ 為非異陣, 從而 $M$ 也是非異陣.
證法三 直接證明矩陣 $C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B$ 的非異性. 任取線性方程組 $(C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B)x=0$ 的一個解 $x_0\in\mathbb{R}^n$, 即有 $(C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B)x_0=0$. 在等式的兩邊同時左乘 $x'_0$, 由引理可得 $$(1)\quad 0=x'_0(C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B)x_0=-x'_0x_0-x'_0B'(A+I_m)^{-1}Bx_0.$$ 令 $y_0=(A+I_m)^{-1}Bx_0$, 則 $$(2)\quad y'_0=x'_0B'((A+I_m)^{-1})'=x'_0B'(A'+I_m)^{-1}=x'_0B'(-A+I_m)^{-1}.$$ 將 (2) 式代入 (1) 式可得 $$0=-x'_0x_0-y'_0(-A+I_m)y_0=-x'_0x_0-y'_0y_0,$$ 於是 $x_0=0$, $y_0=0$, 從而由線性方程組求解理論可知 $C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B$ 為非異陣. $\Box$
第七大題的結論有如下三個推廣.
推廣 1 設 $A$ 為 $n$ 階正定 (半正定) 實對稱陣, $S$ 為 $n$ 階實反對稱陣, 則 $|A+S|\geq |A|>0$ ($|A+S|\geq |A|\geq 0$).
證明 正定陣的情形就是高代白皮書的例 9.100. 注意到主對角元素全大於零的對角陣是正定實對稱陣, 故高代白皮書的例 3.78 是例 9.100 的特例, 它們都給出了第七大題第一個結論的推廣. 半正定陣的情形可通過攝動法由正定陣的情形得到. $\Box$
定義 設 $B$ 為 $n$ 階實方陣, 若對任一 $0\neq\alpha\in\mathbb{R}^n$, 均有 $\alpha'B\alpha>0$, 則稱 $B$ 為亞正定陣; 若對任一 $\alpha\in\mathbb{R}^n$, 均有 $\alpha'B\alpha\geq 0$, 則稱 $B$ 為亞半正定陣. 同理可給出亞負定陣和亞半負定陣的定義, 即 $B$ 為亞負定陣 (亞半負定陣) 當且僅當 $-B$ 為亞正定陣 (亞半正定陣).
容易證明: $B$ 是亞正定陣 (亞半正定陣) 當且僅當 $B+B'$ 是正定陣 (半正定陣); 若 $B$ 是亞正定陣, 則 $B',B^{-1}$ 也都是亞正定陣. 具體的證明細節和其他的相關結論請參考高代白皮書第 411 頁的解答題 14 或 [問題2015S12] 以及 [問題2020S15].
命題 設 $B$ 為 $n$ 階實方陣, 則 $B$ 為亞正定陣 (亞半正定陣) 當且僅當 $B=A+S$, 其中 $A$ 是正定 (半正定) 實對稱陣, $S$ 是實反對稱陣. 特別地, 若 $B$ 為亞正定陣 (亞半正定陣), 則 $|B|>0$ ($|B|\geq 0$).
證明 充分性可利用引理直接驗證亞正定陣 (亞半正定陣) 的定義得到. 必要性可由 $$A=\dfrac{1}{2}(B+B'),\,\,\,\,S=\dfrac{1}{2}(B-B')$$ 以及亞正定陣 (亞半正定陣) 的等價定義得到. 第二個結論由推廣 1 即得. $\Box$
推廣 2 設 $A$ 是 $m$ 階亞正定陣, $C$ 是 $n$ 階亞正定陣, $B$ 是 $m\times n$ 階實矩陣, 則 $C+B'A^{-1}B$ 也是亞正定陣. 特別地, $|C+B'A^{-1}B|>0$.
證明 由 $A$ 是亞正定陣可知 $A^{-1}$ 也是亞正定陣, 從而 $B'A^{-1}B$ 是亞半正定陣. 又 $C$ 是亞正定陣, 故由定義可知 $C+B'A^{-1}B$ 也是亞正定陣. 第二個結論由命題即得. $\Box$
回到第七大題, 由命題可知 $A+I_m$ 和 $I_n-C$ 都是亞正定陣, 再由推廣 2 可知 $I_n-C+B'(A+I_m)^{-1}B$ 也是亞正定陣, 從而 $$|I_n-C+B'(A+I_m)^{-1}B|>0,$$ 這給出了第七大題第二個結論的推廣. 最后, 我們給出 2017 年度第九屆全國大學生數學競賽預賽第四題的推廣.
推廣 3 設 $A,B,C,D,E$ 為 $n$ 階實方陣, 滿足 $AB=CD=E$. 證明: 若 $E$ 為亞正定陣或亞負定陣, 則 $AD+B'C'$ 為非異陣.
證明 只要證明 $E$ 為亞正定陣的情形即可. 任取線性方程組 $(AD+B'C')x=0$ 的一個解 $x_0\in\mathbb{R}^n$, 即有 $$(3)\quad (AD+B'C')x_0=0.$$ 由命題可知 $|E|>0$, 故 $A,B,C,D$ 都是非異陣. 設 $D=BP$, 代入 (3) 式化簡后可得 $$(4)\quad (EP+(P^{-1})'E')x_0=0.$$ 在 (4) 式的兩邊同時左乘 $(Px_0)'$ 可得 $$(Px_0)'E(Px_0)+x'_0E'x_0=0,$$ 由 $E,E'$ 的亞正定性可得 $Px_0=0$ 以及 $x_0=0$, 從而由線性方程組求解理論可知 $AD+B'C'$ 為非異陣. $\Box$
參考文獻
[1] 高代白皮書: 姚慕生, 謝啟鴻 編著, 學習方法指導書: 高等代數 (第三版), 復旦大學出版社, 2015.