本文收集了復旦大學數學學院 18 級到 19 級高等代數期中考試的精選大題, 其中一部分大題由習題課老師或任課老師自編而來, 一部分大題從兄弟院校的高等代數教材或學習指導書中的習題或考研試題改編而來, 也有一部分大題已經融入到復旦大學高等代數學習指導書 (第三版) 中了. 由於篇幅所限, 這里我們不公布這些精選大題的解答, 但會根據情況附加一些注解, 以供讀者參考.
本科 18 級高代 I 期中考試
二、(12分) 計算下列 $n$ 階行列式的值:
$$|A|=\begin{vmatrix} \dfrac{1-a_1^nb_1^n}{1-a_1b_1} & \dfrac{1-a_1^nb_2^n}{1-a_1b_2} & \cdots & \dfrac{1-a_1^nb_n^n}{1-a_1b_n}\\ \dfrac{1-a_2^nb_1^n}{1-a_2b_1} & \dfrac{1-a_2^nb_2^n}{1-a_2b_2} & \cdots & \dfrac{1-a_2^nb_n^n}{1-a_2b_n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ \dfrac{1-a_n^nb_1^n}{1-a_nb_1} & \dfrac{1-a_n^nb_2^n}{1-a_nb_2} & \cdots & \dfrac{1-a_n^nb_n^n}{1-a_nb_n}\\ \end{vmatrix}.$$
五、(12分) 設函數 $f(x)=\sum\limits_{i=-k}^ma_ix^i$, 其中 $k,m$ 都是正整數. 設 $n$ 階非異陣 $A$ 的每行元素之和都等於 $c$, 證明: $f(A)=\sum\limits_{i=-k}^ma_iA^i$ 的每行元素之和都等於 $f(c)$.
六、(10分) 設多項式 $f(x)=a_0+a_1 x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$, $\omega_k=\cos\dfrac{2k\pi}{n}+i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\,(0\leq k\leq n-1)$ 為全體 $n$ 次單位根, 循環矩陣 $$A=\left(\begin{array}{ccccc} a_0 & a_1 & \cdots & a_{n - 2} & a_{n - 1} \\ a_{n - 1} & a_0 & \cdots & a_{n - 3} & a_{n - 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_2 & a_3 & \cdots & a_{0} & a_{1}\\ a_1 & a_2 & \cdots & a_{n - 1} & a_{0} \end{array}\right).$$證明: 恰有 $n-r(A)$ 個 $n$ 次單位根是 $f(x)$ 的根 (不計重根數).
七、(10分) 設 $A,B$ 為 $n\,(n\geq 3)$ 階方陣, 滿足 $AB=0$. 證明: $|AB^*+BA^*|=0$.
注 第二大題用 Vander Monde 行列式. 第五大題是白皮書例 2.22 的推廣. 第六大題參考博文《循環矩陣的性質及其應用》. 第七大題轉化成矩陣秩的問題, 並用秩的不等式進行證明.
本科 18 級高代 II 期中考試
四、(10分) 設 $n$ 階方陣 $A$ 的所有元素都是整數, $p,q$ 是互素的整數且 $q>1$, 證明: 線性方程組 $Ax=\dfrac{\,p\,}{\,q\,}x$ 只有零解.
五、(10分) 設 $A_1,\cdots,A_n$ 為兩兩乘法可交換的 2019 階實方陣, $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是 $n$ 元實系數多項式. 令 $B=f(A_1,\cdots,A_n)$, 證明: 存在 $B$ 的某個特征值 $\lambda_0$, 使得方程 $f(x_1,\cdots,x_n)-\lambda_0=0$ 有一組實數解.
六、(10分) 設 $A$ 為 $n$ 階復方陣, 證明: $A$ 不可對角化當且僅當存在一元多項式 $f(x)$, 使得 $f(A)$ 非零, $I_n+f(A)$ 可逆, 並且 $(I_n+f(A))^{-1}$ 與 $I_n-f(A)$ 相似.
七、(10分) 設 $A$ 是 $n$ 階復方陣, 證明: 存在復數 $c_1,\cdots,c_{n-1}$, 使得 $$A-c_1 e^{A}-c_2 e^{2 A}-\cdots-c_{n-1}e^{(n-1) A}$$是可對角化矩陣.
注 第四大題是白皮書例 6.4 的推廣. 第五大題需要用到如下結論"兩個乘法可交換的奇數階實矩陣必有公共的實特征向量", 其證明可參考教學論文 12 的例 3. 第六大題利用 Jordan-Chevalley 分解定理來做. 第七大題利用 Jordan 標准型的應用或 Jordan-Chevalley 分解定理來做.
本科 19 級高代 I 期中考試
五、(10分) 設 $n$ 階非零復方陣 $A$ 滿足 $A^*=\overline{A\,}'$, 求證: $A$ 是非異陣.
六、(10分) 設 $A$ 為數域 $K$ 上的 $n$ 階冪零陣, $B$ 為 $n$ 階方陣, 滿足 $AB=BA$ 且 $r(AB)=r(B)$. 求證: $B=0$.
七、(10分) 設 $A$ 為 $m$ 階實反對稱陣, $C$ 為 $n$ 階實反對稱陣, $B$ 為 $m\times n$ 階實矩陣. 證明: $A+I_m$ 和 $C-I_n-B'(A+I_m)^{-1}B$ 都是非異陣.
注 第五大題是白皮書例 2.21 的復版本. 第六大題利用白皮書的例 3.75 來證明. 第七大題的第 1 小問是白皮書的例 3.78 (利用線性方程組的求解理論), 第 2 小問可通過降階公式 (構造一個大矩陣) 轉化為第 1 小問.
本科 19 級高代 II 期中考試
四、(14分) 設 $n\,(n>2)$ 階復方陣 $A$ 的秩等於 $2$, 試求 $A$ 的 Jordan 標准型.
五、(10分) 設 $n$ 階方陣 $A$ 的所有元素都是整數, 其中階數 $n$ 為偶數, 並且對任意的 $1\leq r\leq n$, $A$ 的所有 $r$ 主子式之和都是奇數. 證明: 不存在整數 $k$, 使得線性方程組 $Ax=kx$ 有非零解.
六、(10分) 設 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 階實方陣, 若對任意的 $1\leq i\leq n$, 都有 $|a_{ii}|>\sum\limits_{j\neq i}|a_{ij}|$, 則稱 $A$ 是嚴格對角占優陣. 設 $A,B$ 均為主對角元都大於零的 $n$ 階嚴格對角占優陣, 且滿足 $A^2(A+B)=(A+B)B^2$, 證明: $A=B$.
七、(10分) 設 $a,b$ 都是實數, 其中 $b\neq 0$, 證明: 對任意的正整數 $m$, 存在 $4$ 階實方陣 $A$, 使得 $$ A^m=\begin{pmatrix} a & b & 2 & 0 \\ -b & a & 2 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & -b & a \\ \end{pmatrix}. $$
注 第四大題先將 $A$ 的 Jordan 標准型 $J$ 寫出, 通過計算 $J$ 的秩可得到 5 個分類結果. 第五大題利用白皮書的例 6.15, 再由反證法即得結論. 第六大題先利用戈氏圓盤定理得到 $A,B$ 特征值的實部都大於零, 再利用兩次白皮書的例 6.63 即得結論. 第七大題利用廣義 Jordan 塊 (白皮書第 366 頁第 2 行和第 3 行的矩陣) 作為測試矩陣進行討論.