[問題2015A01] 證明: 第三類分塊初等變換是若干個第三類初等變換的復合. 特別地, 第三類分塊初等變換不改變行列式的值.
[問題2015A02] 設 $n\,(n\geq 2)$ 階方陣 $A=(a_{ij}(x))$, 其中每個元素 $a_{ij}(x)$ 都是關於未定元 $x$ 的多項式. 若 $k$ 是正整數, 滿足 $x^k$ 整除 $A$ 的所有代數余子式 $A_{ij}$, 證明: $x^{k+1}$ 整除 $A$ 的行列式 $|A|$.
提示 考慮 $A$ 的伴隨矩陣 $A^*$ 的行列式. 另外, 本題還可以推廣為: 若 $k$ 是正整數, $p(x)$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的不可約多項式, 滿足 $p(x)^k$ 整除 $A$ 的所有代數余子式 $A_{ij}$, 則 $p(x)^{k+1}$ 整除 $|A|$.
[問題2015A03] 設 $M=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \end{pmatrix}$, 證明: $r(M)\geq n-1$.
提示 參考復旦高代教材第102頁的例2.6.5, 可用秩的降階公式來做.
[問題2015A04] 設 $A$ 是 $m\times n$ 實矩陣, 試用秩的子式判別法和 Cauchy-Binet 公式證明: $r(A'A)=r(AA')=r(A)$.
提示 這是復旦高代教材第179頁的復習題41, 復旦高代白皮書第151頁的例3.72, 那里用的是線性方程組的求解理論來做的.
[問題2015A05] 設 $A,B$ 都是 $n$ 階方陣, 約定 $A^0=I_n$.
(1) 若 $k$ 是非負整數, 使得 $r(A^k)=r(A^{k+1})$, 證明: 對任意的 $i\geq k$, $r(A^i)=r(A^k)$.
(2) 記 $s(A)=\min\{k\in\mathbb{N}\mid r(A^k)=r(A^{k+1})\}$, 稱為 $A$ 的穩定指數, 意味着從 $i\geq s(A)$ 開始, $A^i$ 的秩保持穩定了, 這個最終穩定的秩記為 $r_{\infty}(A)$, 即 $r_{\infty}(A)=r(A^i)$, $\forall\,i\geq s(A)$. 證明: $s(A)$ 必存在, 並且是 $0$ 和 $n$ 之間的某個自然數.
(3) 證明: $r_{\infty}(AB)=r_{\infty}(BA)$.
(4) 證明: $|s(AB)-s(BA)|\leq 1$, 並舉例說明可取到 $A,B$, 使得 $|s(AB)-s(BA)|=1$.
提示 前面兩問參考復旦高代白皮書例4.32的證明. 后面兩問合在一起考慮, 利用秩的基本公式以及 $(AB)^{i+1}=A(BA)^iB$ 和 $B(AB)^{i+1}A=(BA)^{i+2}$ 來證明.
[問題2015A06] 設 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 階方陣, $A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 對應的代數余子式. 設 $1\leq i_1<\cdots<i_r\leq n$, $1\leq j_1<\cdots<j_r\leq n$ 為兩組給定的指標集, $\hat{\,i}$ 表示 $i$ 不在指標集中, 試證明:
$$\begin{vmatrix} A_{i_1j_1} & \cdots & A_{i_rj_1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ A_{i_1j_r} & \cdots & A_{i_rj_r} \end{vmatrix}=(-1)^{i_1+\cdots+i_r+j_1+\cdots+j_r}A\begin{pmatrix} 1 & \cdots & \hat{i_1} & \cdots & \hat{i_r} & \cdots & n \\ 1 & \cdots & \hat{j_1} & \cdots & \hat{j_r} & \cdots & n \end{pmatrix}|A|^{r-1}.$$
提示 先利用公式 $AA^*=|A|I_n$ 以及復旦高代白皮書例9.39類似的方法證明 $i_1=j_1=1$, $\cdots$, $i_r=j_r=r$ 的特殊情形, 然后再利用行列對換將一般情形化約到特殊情形即可.
[問題2015A07] 設 $V$ 是 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空間, 滿足 $V$ 中所有的非零矩陣都是非異陣, 證明: $\dim_{\mathbb{K}}V\leq n$.
提示 構造 $M_n(\mathbb{K})$ 的子空間 $U$, 滿足 $U$ 中所有的矩陣都是奇異陣且 $\dim U=n^2-n$, 然后利用直和 $V\oplus U\subseteq M_n(\mathbb{K})$ 得到結論.
[問題2015A08] 設 $\varphi$ 是 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換, 滿足 $\varphi^m=0$, 其中 $m,q$ 為正整數, $n=mq+1$. 證明: $\dim\mathrm{Im\,}\varphi\leq n-q-1$.
提示 代數方法可用 Sylvester 不等式, 幾何方法可用線性映射的維數公式.
[問題2015A09] 定義: 線性空間 $V$ 中的一族向量 $B=\{e_i\}_{i\in I}$ 稱為線性無關的, 如果 $B$ 中任意有限個向量都是線性無關的. $B=\{e_i\}_{i\in I}$ 稱為線性空間 $V$ 的一組基, 如果 $B$ 是線性無關的, 並且 $V=L(B)$, 即 $V$ 中任一向量都是 $B$ 中有限個向量的線性組合. 利用 Zorn 引理或選擇公理可證明任一線性空間 $V$ 中都存在一組基 $B$ (在抽象代數課中會給出證明, 大家現在予以承認即可).
(1) 證明: $\mathbb{K}[x]$ 的一組基為 $B=\{1,x,x^2,x^3,\cdots\}$.
(2) 舉例說明: 復旦高代教材第 204 頁的習題 3 對無限維線性空間一般並不成立, 即存在無限維線性空間 $V$ 上的自同構 $\varphi$ 以及 $\varphi$ 的不變子空間 $W$, 但 $W$ 不是 $\varphi^{-1}$ 的不變子空間.
提示 考慮 $V=\mathbb{K}[x]$ 的基之間的雙射誘導的線性自同構, 然后再構造相應的 $\varphi$-不變子空間 $W$.
[問題2015A10] 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 證明下列條件等價:
(1) $V=\mathrm{Ker\,}\varphi+\mathrm{Im\,}\varphi$;
(2) $V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus\mathrm{Im\,}\varphi$;
(3) $\mathrm{Ker\,}\varphi\cap\mathrm{Im\,}\varphi=0$;
(4) $\mathrm{Ker\,}\varphi=\mathrm{Ker\,}\varphi^2$, 或等價地, $\dim\mathrm{Ker\,}\varphi=\dim\mathrm{Ker\,}\varphi^2$;
(5) $\mathrm{Im\,}\varphi=\mathrm{Im\,}\varphi^2$, 或等價地, $r(\varphi)=r(\varphi^2)$;
(6) $\mathrm{Ker\,}\varphi$ 存在 $\varphi$-不變的補空間, 即存在 $\varphi$-不變子空間 $U$, 使得 $V=\mathrm{Ker\,}\varphi\oplus U$;
(7) $\mathrm{Im\,}\varphi$ 存在 $\varphi$-不變的補空間, 即存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=\mathrm{Im\,}\varphi\oplus W$.
[問題2015A11] 設 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)\in\mathbb{K}[x]$, 證明: $$((f_1(x),f_2(x)),f_3(x),\cdots,f_m(x))=(f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)),$$ $$[[f_1(x),f_2(x)],f_3(x),\cdots,f_m(x)]=[f_1(x),f_2(x),f_3(x),\cdots,f_m(x)].$$
注 復旦高代書第 216 頁定理 5.3.1 告訴我們: 可用輾轉相除法求兩個多項式的最大公因式, 第 220 頁推論 5.3.6 將求兩個多項式的最小公倍式轉化為求兩個多項式的最大公因式. 由於最大公因式 (最小公倍式) 的定義與 $f_i(x)$ 的順序無關, 上述公式告訴我們: 求 $m$ 個多項式的最大公因式 (最小公倍式) 時, 可以任意選取兩個多項式先求最大公因式 (最小公倍式), 然后再求 $m-1$ 個多項式的最大公因式 (最小公倍式), 這樣不斷地遞推下去, 最后可求得 $m$ 個多項式的最大公因式 (最小公倍式). 這是一種不依賴於多項式因式分解的可計算的方法.
[問題2015A12] 設循環矩陣 $A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_n & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_n & a_1 & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_1 \end{pmatrix}$ 是非異陣, 求證: $A^{-1}$ 也是循環矩陣.
提示 利用新白皮書的例2.12、例2.52和例5.75類似的證明方法 (互素多項式的應用) 來做.