本學期的高等代數每周一題活動計划從第1教學周開始，到第16教學周結束，每周的周末公布1-2道思考題（共18道，思考題一般與下周授課內容密切相關），供大家思考和解答。每周一題將通過“高等代數官方博客”（以博文的形式）和“高等代數在線課程20級課群”（以課群話題的形式）這兩個渠道同時發布。有興趣的同學可以將每周一題的解答寫在紙上，用手機APP掃描或用手機拍照（注意清晰度，且圖片像素不宜過高），並將解答圖片上傳到每周一題對應的課群話題中。本人會定期對每周一題的解答進行批改和評價，並將優秀解答標記出來推薦給全班同學。
[問題2021S01] 請用多元多項式的整性證明: 數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣全體構成的線性空間 $M_n(\mathbb{K})$ 有一組 (無窮組) 由非異矩陣構成的基.
[問題2021S02] (1) 請將下列對稱有理函數表示為初等對稱多項式的有理函數, 並求 $\sigma_1=0$ 時的函數值:
$$Q(x_1,x_2,x_3)=\frac{x_1^2}{2x_1^2+x_2x_3}+\frac{x_2^2}{2x_2^2+x_3x_1}+\frac{x_3^2}{2x_3^2+x_1x_2};$$
(2) 請將下列對稱有理函數表示為初等對稱多項式的有理函數, 並求 $\sigma_1=2$, $\sigma_2=-6$, $\sigma_3=1$ 時的函數值:
$$Q(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{x_1x_2+2x_3}+\frac{1}{x_2x_3+2x_1}+\frac{1}{x_3x_1+2x_2}.$$
[問題2021S03] 設 $V=M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 階復方陣全體構成的集合.
(1) 將 $V$ 看成是復線性空間, $V$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\varphi(X)=JX$, 其中 $J$ 是基礎循環矩陣 (定義見高代白皮書的例 2.1), 試求 $\varphi$ 的全體特征值和對應的特征向量;
(2) 將 $V$ 看成是實線性空間, $V$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\varphi(X)=\overline{X}$, 其中 $\overline{X}$ 是 $X$ 的共軛矩陣, 試求 $\varphi$ 的全體特征值和對應的特征向量.
[問題2021S04] (1) 設 $2$ 階復方陣 $A$ 滿足 $|A^k+I_2|=1$, 其中 $k=1,2,3$, 證明: $A$ 是冪零陣;
(2) 設 $3$ 階復方陣 $A$ 滿足 $|A^k+I_3|=1$, 其中 $k=1,2,3,7$, 證明: $A$ 是冪零陣.
注 可利用以下表示進行計算 (不需要證明), 其中 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ 分別是未定元 $x_1,x_2,x_3$ 的初等對稱多項式: $$(x_1^7+1)(x_2^7+1)(x_3^7+1)=\sigma_3^7+7\sigma_3^4\sigma_1^2+7\sigma_3^4\sigma_2-21\sigma_3^3\sigma_1\sigma_2^2-7\sigma_3^3\sigma_1^3\sigma_2+7\sigma_3^2\sigma_2^4+14\sigma_3^2\sigma_1^2\sigma_2^3+7\sigma_3^2\sigma_1-7\sigma_3\sigma_1\sigma_2^5+7\sigma_3\sigma_1^4+7\sigma_3\sigma_2^2-21\sigma_3\sigma_1^2\sigma_2+\sigma_1^7+\sigma_2^7-7\sigma_1\sigma_2^3+14\sigma_1^3\sigma_2^2-7\sigma_1^5\sigma_2+1.$$
[問題2021S05] 設 $V=M_n(\mathbb{C})$ 是 $n$ 階復方陣全體構成的復線性空間, $V$ 上的線性變換 $\varphi$ 定義為 $\varphi(X)=JX'J'$, 其中 $J$ 是基礎循環矩陣 (定義見高代白皮書的例 2.1), 證明: $\varphi$ 可對角化.
[問題2021S06] 設 $n$ 階復方陣 $M$ 的秩等於 2, 請用 $M$ 的特征值的相關條件給出 $M$ 可對角化的充要條件.
[問題2021S07] 設 $a_0,a_1,a_2$ 為有理數, 使得 $$A=\begin{pmatrix} a_0 & a_2 & a_1 \\ a_1 & a_0+a_2 & a_1+a_2 \\ a_2 & a_1 & a_0+a_2 \\ \end{pmatrix}$$ 為奇異陣. 證明: $a_0=a_1=a_2=0$.
[問題2021S08] 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換. 證明: 若 $\varphi$ 有 $r$ 維不變子空間, 則 $\varphi$ 必有 $n-r$ 維不變子空間.
[問題2021S09] 設 $A,B$ 是 $n\,(n\geq 2)$ 階方陣, 已知 $AB$ 的 Jordan 標准型為 $J_n(0)$, 試求 $BA$ 的 Jordan 標准型, 並舉例說明存在性.
[問題2021S10] 設 $S$ 是某些 $n$ 階方陣構成的集合, 滿足如下條件:
(1) $I_n\in S$;
(2) 若 $A,B\in S$, 則 $AB\in S$;
(3) 對任意的 $A,B\in S$, $(AB)^3=BA$ 成立.
證明: $S$ 中的矩陣可以同時對角化, 並且 $S$ 是有限集合.
[問題2021S11] 設 $S=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$, $J=\begin{pmatrix} O & I_n \\ -I_n & O \\ \end{pmatrix}$.
(1) 證明: $J$ 相似於 $\mathrm{diag}\{S,S,\cdots,S\}$;
(2) 設 $A\in M_n(\mathbb{R})$, 滿足 $A'J+JA=O$, 證明: $\mathrm{e}^{tA'}J\mathrm{e}^{tA}=J$;
(3) 試求 $\mathrm{e}^{tJ}$.
[問題2021S12] 設 $A$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, $n$ 維實列向量 $\alpha,\beta$ 滿足 $\alpha'\beta>0$, 證明: $H=A-\dfrac{A\beta\beta'A}{\beta'A\beta}+\dfrac{\alpha\alpha'}{\alpha'\beta}$ 是正定陣.
[問題2021S13] 設 $A$ 為 $n$ 階半正定實對稱陣, $S$ 為 $n$ 階實反對稱陣, 證明:
(1) $r(A+S)=r(A\mid S)$;
(2) $|A+S|>0$ 的充要條件是 $r(A\mid S)=n$.
[問題2021S14] 設 $A=(a_{ij})$ 為 $n$ 階正定實對稱陣, $A^{-1}=(b_{ij})$. 證明: $a_{ii}b_{ii}\geq 1\,(\forall\,1\leq i\leq n)$, 並且等號全部成立, 即 $a_{ii}b_{ii}=1\,(\forall\,1\leq i\leq n)$ 當且僅當 $A$ 為對角陣.
[問題2021S15] 設 $n$ 維歐氏空間 $V$ 中 $n+1$ 個向量 $\alpha_0,\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 兩兩之間的距離都是 $d>0$. 令 $\beta_i=\alpha_i-\alpha_0\,(1\leq i\leq n)$, 證明:
(1) $(\beta_i,\beta_j)=\dfrac{d^2}{2}\,(1\leq i\neq j\leq n)$;
(2) $\beta_1,\cdots,\beta_n$ 是 $V$ 的一組基.
[問題2021S16] 若復方陣 $A$ 的特征值都是實數, 則記其中的最大, 最小特征值分別為 $\lambda_{\mathrm{max}}(A)$, $\lambda_{\mathrm{min}}(A)$. 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, $S$ 為 $n$ 階實反對稱陣, 證明: 對 $A+S$ 的任一特征值 $\lambda_0$, 有: $$\lambda_{\mathrm{min}}(A)\leq\mathrm{Re}\lambda_0\leq\lambda_{\mathrm{max}}(A),\,\,\,\,\lambda_{\mathrm{min}}(-\mathrm{i}S)\leq\mathrm{Im}\lambda_0\leq\lambda_{\mathrm{max}}(-\mathrm{i}S).$$
[問題2021S17] 設 $n$ 階復方陣 $A$ 的全體特征值為 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 證明: $$\sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2=\inf_{\det X\neq 0}\|X^{-1}AX\|^2_{\mathrm{F}},$$ 其中 $\|\,\cdot\|_{\mathrm{F}}$ 是由矩陣的 Frobenius 內積誘導的范數.
[問題2021S18] 設 $A$ 為 $n$ 階實冪等陣, 證明: $A'A$ 的非零特征值都大於等於 1.