本學期的高等代數每周一題活動計划從第2教學周開始，到第16教學周結束，每周的周末公布1道思考題（共15道，思考題一般與下周授課內容密切相關），供大家思考和解答。每周一題將通過“高等代數官方博客”（以博文的形式）和“高等代數在線課程21級課群”（以課群話題的形式）這兩個渠道同時發布。有興趣的同學可以將每周一題的解答寫在紙上，用手機APP掃描或用手機拍照（注意清晰度，且圖片像素不宜過高），並將解答圖片上傳到每周一題對應的課群話題中。本人會定期對每周一題的解答進行批改和評價，並將優秀解答標記出來推薦給全班同學。
[問題2021A01] 求下列 $n$ 階行列式的值:
$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & \cdots & a^{n-1} \\ a & 1 & a & \cdots & a^{n-2} \\ a^2 & a & 1 & \cdots & a^{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1 \\ \end{vmatrix}.$$
[問題2021A02] 求下列 $n$ 階行列式的值:
$$|A|=\begin{vmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-2} & (x_2+x_3+\cdots+x_n)^n \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-2} & (x_1+x_3+\cdots+x_n)^n \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-2} & (x_1+x_2+\cdots+x_{n-1})^n \\ \end{vmatrix}.$$
[問題2021A03] 設多項式 $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$, $A$ 是 $f(x)$ 的友陣 (空白處全為零): $$A=\begin{pmatrix} & & & & -a_n \\ 1 & & & & -a_{n-1} \\ & \ddots & & & \vdots \\ & & \ddots & & \vdots \\ & & & 1 & -a_1 \end{pmatrix}.$$ 設 $n$ 階矩陣 $X$ 滿足 $XA=A'X$, 求證: $X$ 是對稱陣.
[問題2021A04] 求下列行列式的值: $$|A|=\begin{vmatrix} a_1^2+n-1 & a_1+a_2 & a_1+a_3 & \cdots & a_1+a_n \\ a_1+a_2 & a_2^2+1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_1+a_3 & 1 & a_3^2+1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1+a_n & 1 & 1 & \cdots & a_n^2+1 \\ \end{vmatrix}.$$
[問題2021A05] 設 $A,B$ 為 $n$ 階方陣, 滿足: $$AB=A+a_mB^m+a_{m-1}B^{m-1}+\cdots+a_1B,$$ 其中 $a_m+a_{m-1}+\cdots+a_1\neq 0$. 求證: $AB=BA$.
[問題2021A06] 若 $n$ 階實方陣 $P$ 滿足 $PP'=I_n$, 則稱 $P$ 為正交陣. 設 $S$ 為 $n$ 階實反對稱陣全體構成的集合, $T=\{P$ 為 $n$ 階正交陣且滿足 $I_n+P$ 可逆$\}$.
(1) 對任意的 $A\in S$, 由高代白皮書的例 2.33 可知 $I_n+A$ 可逆, 定義 $\varphi(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$, 證明: $\varphi$ 是從 $S$ 到 $T$ 的映射.
(2) 對任意的 $P\in T$, 定義 $\psi(P)=(I_n-P)(I_n+P)^{-1}$, 證明: $\psi$ 是從 $T$ 到 $S$ 的映射.
(3) 證明: $\psi\varphi=\mathrm{Id}_S$, $\varphi\psi=\mathrm{Id}_T$, 其中 $\mathrm{Id}_S,\mathrm{Id}_T$ 表示 $S,T$ 上的恆等映射, 即 $\varphi,\psi$ 實現了集合 $S$ 與 $T$ 之間的一一對應.
(4) 設 $n$ 階實反對稱陣 $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ -1 & -1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & 0 \\ \end{pmatrix},$$ 試求 $\varphi(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$.
[問題2021A07] 設 $A,B$ 為 $n\,(n\geq 2)$ 階方陣, 滿足 $AB=BA$, 證明: $AB^*=B^*A$, 其中 $B^*$ 是 $B$ 的伴隨陣.
[問題2021A08] 設 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_p\}$ 是 $\mathbb{K}^m$ 中 $p$ 個線性無關的 $m$ 維列向量, $\{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_q\}$ 是 $\mathbb{K}^n$ 中 $q$ 個線性無關的 $n$ 維列向量. 證明: $\{\alpha_i\cdot\beta_j'\,(1\leq i\leq p,\,1\leq j\leq q)\}$ 是 $pq$ 個線性無關的 $m\times n$ 矩陣.
[問題2021A09] 設 $A$ 為列滿秩的 $m\times n$ 實矩陣.
(1) 求證: $A'A$ 為非異陣.
(2) 設 $A$ 的第一列元素全為 $1$, 令 $P=A(A'A)^{-1}A'$, 求證: $P$ 所有的主對角元素都大於等於 $\dfrac{1}{m}$.
[問題2021A10] 設 $(V,\,+\,,\,\cdot\,)$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的線性空間, 映射 $\varphi:S\to V$ 是從集合 $S$ 到 $V$ 的一個雙射. 設 $a,b\in S$, $k\in\mathbb{K}$, 定義 $S$ 上的加法 $\oplus$ 為: $a\oplus b=\varphi^{-1}(\varphi(a)+\varphi(b))$; 定義 $\mathbb{K}$ 關於 $S$ 的數乘 $\circ$ 為: $k\circ a=\varphi^{-1}(k\cdot\varphi(a))$.
(1) 證明: $(S,\,\oplus\,,\,\circ\,)$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的線性空間, 並且 $\varphi:S\to V$ 是線性同構;
(2) 在 [問題2021A06] 中, $n$ 階實反對稱陣全體構成的集合 $S$ 是實數域上的線性空間, 請定義集合 $T=\{P$ 為 $n$ 階正交陣且滿足 $I_n+P$ 可逆$\}$ 上的加法和數乘 (寫出具體的表達式), 使得 $T$ 成為實數域上的線性空間, 並且 $\psi:T\to S$ 成為線性同構.
[問題2021A11] 設 $m\times n$ 矩陣 $A$ 的秩為 $r$, $B$ 是 $m\times r$ 矩陣, $C$ 是 $r\times n$ 矩陣. 證明: $A=BC$ 是 $A$ 的滿秩分解 (即 $r(B)=r(C)=r$) 當且僅當 $B$ 的 $r$ 個列向量是 $A$ 的 $n$ 個列向量張成線性空間的一組基, 也當且僅當 $C$ 的 $r$ 個行向量是 $A$ 的 $m$ 個行向量張成線性空間的一組基.
[問題2021A12] 設 $n$ 階方陣 $A$ 的秩等於 $r$, $k$ 為非零常數. 證明: $A^2=kA$ 的充要條件是對 $A$ 的任一滿秩分解 $A=BC$ 都有 $CB=kI_r$.
注 本題是第三屆全國大學生數學競賽決賽一道代數試題的推廣.
[問題2021A13] 設 $V,U$ 分別是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n,m$ 維線性空間, $\varphi:V\to U$ 是線性映射. 證明:
(1) 存在 $\mathbb{K}$ 上的線性空間 $W$, 滿線性映射 $\xi:V\to W$, 以及單線性映射 $i:W\to U$, 使得 $\varphi=i\circ\xi$;
(2) 若另外存在 $\mathbb{K}$ 上的線性空間 $W_1$, 滿線性映射 $\xi_1:V\to W_1$, 以及單線性映射 $i_1:W_1\to U$, 使得 $\varphi=i_1\circ\xi_1$, 則存在線性同構 $\eta:W\to W_1$, 使得 $\xi_1=\eta\circ\xi$, $i=i_1\circ\eta$.
注 本題是矩陣的滿秩分解的幾何版本, 請用幾何方法進行證明.
[問題2021A14] 設 $V$ 是 $n$ 維復線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換. 證明: 可將 $V$ 看成是 $2n$ 維實線性空間 $V_0$, $\varphi$ 看成是 $V_0$ 上的實線性變換 $\varphi_0$, 並且 $\det(\varphi_0)=|\det(\varphi)|^2$, 其中 $|\,\cdot\,|$ 表示復數的模長.
注 因為線性變換在不同基下的表示矩陣是相似的, 而且矩陣的行列式在相似關系下不改變, 所以線性變換的行列式定義為它的任一表示矩陣的行列式.
[問題2021A15] (1) 設 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ 是整系數多項式, $1\leq k\leq n$. 設存在素數 $p$, 使得 $p\nmid a_n$, $p\mid a_{k-1}$, $p\mid a_{k-2}$, $\cdots$, $p\mid a_0$, $p^2\nmid a_0$, 證明: $f(x)$ 有一個次數 $\geq k$ 的不可約因子.
(2) 設 $n\geq 2$ 為正整數, $p$ 為素數, 證明: $x^n+(p+2)x^{n-1}+p$ 在有理數域上不可約.