從 2014 年初至今, 編者每學期都在復旦大學數學科學學院開展了高等代數每周一題活動. 這一活動, 顧名思義, 就是每一教學周發布一道具有相當難度的高等代數思考題, 供學有余力的學生思考和解答, 旨在通過"難題征解''和"一題多解''等模式激發學生的學習動力和創新潛力. 高等代數每周一題活動現已經歷了復旦數學學院 13 級到 20 級共 8 個年級的實踐, 積累了共 220 余道思考題, 並取得了較好的教學效果.
八年間, 編者總會在周末發布下周的思考題, 題目的側重點通常與下周的授課內容密切相關, 可以讓學生帶着問題進行預習和思考. 復旦數學學院 13 級到 16 級的每周一題通過高等代數博客和微信群同時發布, 學生提交紙質解答; 17 級到 20 級的每周一題通過高等代數博客、微信群以及在線課程同時發布, 學生在在線課群中提交圖片解答. 八年來, 編者都一直認真批改學生的解答, 並及時反饋給他們各種意見和建議. 在這個年復一年的師生互動過程中, 編者與許多學生成為了好朋友, 即使他們本科畢業后仍與編者保持聯系, 這應該是在編撰每周一題之外得到的額外收獲吧!
編者自 2009 年初回到復旦數學學院任教后, 一直從事高等代數課程的教學工作, 並在課程的教學改革與創新實踐等方面付諸努力. 考試命題作為教學工作的重要環節, 編者也在這方面作了初步的探索 (參考教學論文 [4]). 從某種意義上說, 高等代數每周一題恰好為考試命題的改革創新提供了充分實踐的良機. 作為現代數學基石之一的高等代數 (線性代數), 無論是課堂教學, 還是習題考題, 都可從現代數學的各個分支領域出發, 以較高的觀點進行講授和命題. 因此, 編者在編撰每周一題的過程中, 特別注重以科研為指導, 努力將高等代數與后續專業課程緊密結合起來, 盡力展示代數學獨特的思想、方法和技巧.
在復旦數學學院吳泉水教授和薛軍工教授的建議和支持下, 編者將現有的高等代數每周一題整理成冊 (不含解答). 每周一題中約 40% 的題目由編者自編或改編而來, 剩余 60% 的題目選自各兄弟院校的高等代數習題或考研試題, 另外還收錄了復旦大學高等代數期末考試壓軸大題 37 道, 復旦大學高等代數期中考試精選大題 63 道, 整本小冊子共有高等代數習題 320 余道.
編者計划每年下半年更新一次小冊子, 加入最新的高等代數每周一題、期末考試壓軸題和期中考試精選題. 編者期待在復旦高等代數教材 [1] 和高等代數學習指導書 [2] 修訂第四版時, 加入小冊子中的某些習題作為補充. 同時作為遠景目標, 在若干年之后, 以小冊子為藍本出版一本全新的高等代數習題集.
復旦數學學院樓紅衛教授和大數據學院邵美悅研究員向編者提供了數道高等代數習題; 復旦數學學院代數教學團隊吳泉水教授、陳猛教授和朱勝林教授, 十幾年來給予編者熱心的指導和大力的支持, 在此謹向他們表示衷心的感謝!
需要每周一題解答的讀者, 請到編者的高等代數博客 [3] 上查找解答或提示. 由於編者水平有限, 敬請廣大讀者和同行專家提出批評意見和建議.
參考文獻
[1] 姚慕生, 吳泉水, 謝啟鴻. 高等代數學 (第三版). 上海: 復旦大學出版社, 2014
[2] 姚慕生, 謝啟鴻. 大學數學學習方法指導叢書: 高等代數 (第三版). 上海: 復旦大學出版社, 2015
[3] 謝啟鴻. 高等代數官方博客. https://www.cnblogs.com/torsor/
[4] 謝啟鴻. 淺談高等代數命題中的若干技巧. 大學數學, 2013, 29(3): 127--130
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