1、證明：在連通無向圖的每一對不同頂點之間都存在簡單通路。
證明：設u和v是連通無向圖G = (V, E)的兩個不同的頂點，因為G是連通的，所以u和v之間至少有一條通路。設x0, x1, x2, ..., xn 是長度最短的通路的頂點序列，其中x0 = u 而xn = v。這條長度最短的通路是簡單的。為了看明白這一點，假設它不是簡單的。則對滿足0≤i＜j的某個i 和j 來說，有xi = xj。這意味着通過刪除頂點序列xi, ..., xj-1 所對應的邊，就獲得了帶有頂點序列x0, x1, ..., xi-1, xj, ..., xn的從u到v的更短的通路。我們通過反證法引出了矛盾，因此原命題成立，命題得證。
2、證明：若帶有n個頂點的簡單圖G具有超過(n-1)(n-2)/2 條邊，則它是連通的。
提示：假設不連通，則至少有兩個連通分支，證明它可能的最多的邊數（無向完全圖）小於等於(n-1)(n-2)/2條邊，命題就得證了。
3、證明：帶有n個頂點的連通圖至少具有n-1條邊。
證明：不妨設G是無向連通圖（若G為有向圖，可忽略邊的方向討論對應的底圖）。設G中頂點為,v1, v2, ..., vn。由連通性，必存在與v1相鄰的頂點，不妨設其為v2（否則，可重新編號），連接v1與v2得邊e1，還是由連通性，在v3, v4, ..., vn中必存在與v1或v2相鄰的頂點，不妨設為v3，將其連接得邊e2，續行此法，vn必與v1, v2, ..., vn-1中的某頂點相鄰，得新邊en-1，由此可見G中至少有n-1條邊。
我經常提醒自己，有關正整數n的命題通常可以用數學歸納法加以證明，那么下面我們就來嘗試一下。
對於歸納基礎：0、1顯然成立。
歸納假設：帶有k個頂點的連通圖至少具有k-1條邊。下面我們來證明帶有k+1個頂點的連通圖至少具有k條邊。我們把k+1個頂點分成兩部分，一部分含有k個頂點，一部分只有一個頂點，對於k個頂點的連通圖我們知道它至少具有k-1條邊，我們只需要這樣構造：把那個孤立的頂點與k個頂點中的任何一個連接形成一條邊，那么顯然帶有k+1個頂點的連通圖至少具有k條邊（當然我們也可以用任何其它的划分方式，這樣只需將證明過程改為強數學歸納法即可）。
4、已知V是一條割邊的端點。證明：V是割點當且僅當它不是懸掛點（頂點是懸掛的，當且僅當它的度是1）。
證明：
充分性：V是割點那么它顯然不是懸掛點，因為如果它是懸掛點的話，刪除該點和它關聯的邊后圖的連通分支顯然沒有增加。
必要性：當一條割邊的端點不是懸掛點時，該端點一定是割點。若割邊的端點不是懸掛點，則刪除這條割邊后，這端點所在的連通分支里包含除這個頂點外更多的頂點。所以，刪除那個頂點以及與它關聯的所有邊，包括原來的割邊，會產生比原來的圖有更多的連通分支的圖。
因此，割邊的端點要不是懸掛點，它就是割點。
5、證明：具有至少兩個頂點的簡單圖至少有兩個頂點不是割點。
證明：反證法。假設存在至多一個不是割點的頂點的連通圖G。頂點u和v之間的距離定義成在G里u和v之間最短通路的長度，表示成d(u,v)。設s和t是使得d(s,t)達到最大的G里的頂點。s或者t（或二者全部）是割點。所以不失一般性，假設s是割點。在通過從G刪除s和與s關聯的所有邊而得出的圖里，設w屬於不包含t的那個連通分支，因為從w到t的每條通路都包含s，所以d(w,t)>d(s,t)。引出矛盾。因此原命題得證。
6、證明：若簡單圖G有k個連通分支，而且這些分支分別具有n1, n2, ..., nk個頂點，則G的邊數不超過∑i=1~kC(ni, 2)。
證明：一條邊不可能連接兩個在不同連通分支里的頂點。因為在帶ni個頂點的連通分支里至多有C(ni, 2)條邊，所以在圖中至多有∑i=1~kC(ni, 2)條邊。
7、設p1和p2是簡單圖G中頂點u和v之間的沒有相同邊集的兩條簡單通路。試證明：在G中存在簡單回路。
證明：設通路p1和p2分別是u = x0, x1, ..., xn = v。因為p1和p2不包含相同的邊的集合，所以它們必然逐漸分叉。若這個分叉發生在它們中的一條已經結束后，則另一條通路的剩余部分是從v到v的簡單回路。否則，可以假設x0 = y0, x1 = y1, ..., xi = yi，但是xi+1 ≠ yi+1。沿着通路yi, yi+1, yi+2等等前進，直到它再次遇到p1上的頂點為止。一旦回到p1上，就沿着它，在必要時刻向前或向后回到xi，因為xi = yi。這樣就形成一條回路，它必然是簡單的，因為在這些xj之間沒有一條邊能等於用過的yk之間的一條邊。
8、證明：若圖G中恰有兩個奇數度頂點，則這兩個頂點是連通的。
證明：設G中的兩個奇數度頂點分別為u和v，若u與v不連通，即它們之間無任何通路，則G至少有兩個連通分支G1、G2，u與v分別屬於G1和G2，於是G1與G2中各含一個奇度頂點，這與握手定理（文末有介紹）的推論相矛盾，因而u與v必須是連通的。
9、如果一個簡單無向圖的所有頂點的度都等於k，則稱該圖為k正則圖。證明：對於每一個大於2的偶數n，存在n個頂點的3正則圖。
提示：構造性的存在性證明。方法多樣。
————————————————下面幾題屬於現實問題抽象成圖模型的問題，更具趣味性:-)—————————————————
10、證明：若有n個人，每個人恰有三個朋友，則n必為偶數。
證明：用n個頂點代表n個人，在兩個朋友對應的頂點見連邊，則得一個3正則圖G。問題轉化為求證3正則圖必有偶數個頂點。設圖G為任一3正則圖，有n個頂點v1, v2, ..., vn，則所有頂點的度數之和為∑deg(vi) = 3n。由握手定理知3n為偶數，因此n是偶數。
[另：有趣的是，由本題與上一題的結論，我們可以得到一個為真的命題：存在3正則圖當且僅當頂點數為大於2的偶數]
11、現有n個盒子，若每兩個盒子里都恰有一個相同顏色的球，且每種顏色的球恰有兩個放在不同的盒子中，問這n個盒子中共有多少種不同顏色的球？
提示：抽象成無向完全圖，求邊數：n(n-1)/2。
12、證明：在至少有2個人的人群里，至少有2個人，他們有相同的朋友數。
證明：注意到，等價地，設G為至少有兩個頂點的簡單圖。證明：G中至少有兩個頂點度數相同。若G中孤立的頂點個數大於等於2，結論顯然成立。若G中有一個孤立頂點，則G中至少有三個頂點。不考慮孤立頂點，就是說G中每個頂點的度數都大於等於1。又因為G為簡單圖，所以每個頂點的度數小於等於n-1。因而G中頂點的度的取值只能是1, 2, ..., n-1這n-1個數。由鴿巢原理，取n-1個值的n個頂點的度至少有兩個是相同的。
13、將無向完全圖k6的邊隨意地塗上紅色或綠色，證明：無論如何塗法，總存在紅色的k3或綠色的k3。
證明：實在是手酸了：~，還是寫提示吧。[hint：廣義鴿巢原理+集合全集]。
當然，從應用題的方面考慮：我們可以出一個這樣的題目——證明：任何6個人中，要么有三人彼此認識，要么有三人彼此不認識。
補充：
握手定理：每個圖中，頂點的度數和等於邊數的兩倍。
對於無向圖有∑(vεV)deg(v) = 2|E|。
對於有向圖有∑(vεV)(deg-(v)+deg+(v)) = 2|E|。
推論：任何圖中，奇數度的頂點必為偶數個。
與之相關的定理：在任何有向圖中，所有頂點的入度之和等於所有頂點的出度之和。∑(vεV)deg-(v) = ∑(vεV)deg+(v) = |E|。
這些定理幾乎是顯然的，因此就不作證明了。
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以上.