今天搬完了宿舍，發現去年復習復分析的時候整理了一下這一點，下面我將其$\TeX$化，原手寫稿請見這里。
下面介紹一些復平面上的直觀，因為我們解析幾何通常以實數為基本，遇到復平面上的直線和圓時有時會很棘手，下面對此作一些整理。
注：之后$\overline{z}$均表示$z$的共軛。
首先是圓和直線的方程。
命題1. 復平面上直線與圓的方程共享同一種形式，他們是$$\alpha z\overline{z}+\beta z+\overline{\beta}\overline{z}+\gamma =0 \qquad \alpha,\gamma\in \mathbb{R}, \beta\in \mathbb{C}, \Delta=|\beta|^2-\alpha\gamma>0$$且圓心為$-\frac{\overline{\beta}}{\alpha}$, 半徑為$\frac{\sqrt{\Delta}}{\alpha}$.
證明. 不難發現方程左邊的虛部總為$0$, 故只有實部有效, 帶入$z=x+yi$得到實部的方程是$$\alpha x^2+\alpha y^2+2 (\Re \beta) x - 2(\Im \beta) y + \gamma=\alpha\left[\left(x-\frac{\Re \beta}{\alpha}\right)^2+\left(y+\frac{\Im\beta}{\alpha}\right)^2\right]-\frac{(\Re \beta)^2+(\Im \beta)^2-\alpha\gamma}{\alpha}=0$$故原方程化為$$\left(x-\frac{\Re \beta}{\alpha}\right)^2+\left(y+\frac{\Im\beta}{\alpha}\right)^2=\frac{|\beta|^2-\alpha\gamma}{\alpha^2}=\frac{\Delta}{\alpha^2}$$從而圓心是$-\frac{\overline{\beta}}{\alpha}$, 半徑為$\frac{\sqrt{\Delta}}{\alpha}$. 平凡的情況$\alpha=0$不難知道. $\square$
以下是一些注記。
注記. 以下是一些特殊情況.
- 當$\alpha=0$時, 原方程是一條直線, 方向為$i\overline{\beta}$(即$\beta$交換實部虛部)且實軸上經過$\frac{\gamma}{2\Re \beta}$虛軸上經過$i\frac{\gamma}{2\Im \beta}$兩點, 進而經過$\frac{\gamma}{2\beta}$.
- 當$\beta=0$時, 原方程是一個圓心在原點的圓, 特別地, $z\overline{z}=1$就是單位圓周.
- 過原點角度為$\theta$的直線的方程是$\mathrm{e}^{-i\theta}z=\mathrm{e}^{i\theta }\overline{z}$.
然后是著名的Möbius變換。
定義(Möbius變換). 對於$A=\left(\begin{matrix} a& b\\ c& d\end{matrix}\right)\in \operatorname{GL}_2(\mathbb{C})$(即$ad-bc\neq 0$)定義擴充復平面到擴充復平面的映射$$\mu_{A}: z\longmapsto \frac{az+b}{cz+d}$$
例子. 有如下典型的Möbius變換,
- 平移. $z\mapsto z+b$.
- 旋轉. $z\mapsto az$, $|a|=1$.
- 位似. $z\mapsto rz$, $r>0$.
- 標准反演. $z\mapsto 1/z$. 用極坐標寫就是$r\mathrm{e}^{i\theta}\mapsto \frac{1}{r} \mathrm{e}^{-i\theta}$. 此時將方程$\alpha z\overline{z}+\beta z+\overline{b}\overline{z}+\gamma =0$變為$\gamma z\overline{z}+\overline{\beta} z+b\overline{z}+\alpha=0$, 圓心由$-\frac{\overline{\beta}}{\alpha}$變為$-\frac{\beta}{\gamma}$, 半徑由$\frac{\sqrt{\Delta}}{\alpha}$變為$\frac{\sqrt{\Delta}}{\gamma}$. 如下圖
實際上, 所有Möbius變換都可以由上述映射復合而來, 這本質上都是中學數學的技巧. 實際上, 用線性代數的話說, 他們分別對應着一些初等矩陣.
對於平移旋轉和位似我們已經有直觀，所以為了感受到Möbius變換，要直觀感受反演顯得關鍵。
命題(反演). 關於標准反演有如下直觀
- 將圓心在$0$半徑為$r$的圓映射為圓心在$0$半徑為$1/r$的圓. 特別地, 保持單位圓周不動.
- 將過$0$以角度$\theta$的直線映為過$0$角度為$-\theta$的直線.
- 將過$0$的圓映射為直線. 特別地, 如果這個圓與單位圓相切, 這對應的直線與圓相切.
- 將與單位圓周正交的圓映為關於實軸的鏡像.
證明. 前兩者不難根據刻畫或者方程得到. 后兩者可以用初等幾何論證, 第一個證明是利用了相似的原理, 第二個證明則是圓冪定理. $\square$
除了Möbius變換，還有著名的單位圓周內部的Blaschke變換
定義(Blaschke變換). 令$D$是閉單位圓盤, 對於$|\alpha|<1$, 定義Blaschke變換$$\varphi_{\alpha}: D\longrightarrow D\qquad z\longmapsto \frac{z-\alpha}{\overline{\alpha}z-1}$$
評注. 對於其映射定義良好(即像落在$D$中)可以初等驗證, 也可以利用最大模原理證明邊界上的像在單位圓周上即可.
命題. 關於Blaschke變換$\varphi_{\alpha}$有如下直觀
- $\alpha\mapsto 0, 0\mapsto \alpha$.
- $\varphi_{\alpha}\circ \varphi_{\alpha}=\operatorname{id}_U$.
- 將圓周上的點$z$映射為$z$與$\alpha$連線與圓周相交的另一點.
- 用$\tau_{\theta}$表示繞着原點旋轉$\theta$的變換, 則$\tau_{\theta}\circ \varphi_{\alpha}=\varphi_{\tau_{\theta}(\alpha)}\circ \tau_{\theta}$.
證明.第二點是因為因為$$z\mapsto w\iff \overline{\alpha}zw+\alpha=z+w$$對於第三點, 可以這樣論證, 先不妨假定$\alpha$為實數, 如下圖
中間左邊的向量即為$\alpha$, 兩邊的角度分別是$\theta_1,\theta_2$(帶方向, 圖中一正一負), 外側兩腰長度為$1$. 則從左向右對應的復數分別為$$\mathrm{e}^{i\theta_1}, \alpha, \alpha\mathrm{e}^{i(\theta_1+\theta_2)},\mathrm{e}^{i\theta_2}$$兩邊之和等於中間之和即$$\mathrm{e}^{i\theta_1}+\mathrm{e}^{i\theta_2}=\alpha(\mathrm{e}^{i(\theta_1+\theta_2)}+1)$$這就說明$$\mathrm{e}^{i\theta_2}=\frac{\mathrm{e}^{i\theta_1}-\alpha}{\alpha\mathrm{e}^{i\theta_1}-1}$$這就證明了結論. $\square$
主要的參考文獻是Rudin的《實分析與復分析》和著名的《復分析可視化原理》。