被迫營業
點關於點對稱
設\(P(x_{1},y_{1})\)關於\(O(x_{0},y_{0})\)的對稱點為\(P'(x_{2},y_{2})\)
根據中點坐標公式，有
\[ \begin{cases} \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=x_{0} \\ \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}=y_{0} \end{cases} \]
整理得
\[ \begin{cases} x_{2}=2x_{0}-x_{1} \\ y_{2}=2y_{0}-y_{1} \end{cases} \]
點關於直線對稱
設\(P(x_{1},y_{1})\)關於\(l:Ax+By+C=0\)的對稱點為\(P'(x_{2},y_{2})\)
由\(PP'\)中點在\(l\)上得
\[\begin{equation} A\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}+B\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}+C=0 \label{1} \end{equation}\]
由\(PP'\perp l\)得
\[\begin{equation} \dfrac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x{2}}(-\dfrac{B}{A})=-1 \label{2} \end{equation}\]
聯立兩式即得
\[ \begin{cases} x_{2}=x_{1}-2A\dfrac{Ax_{1}+By_{1}+C}{A^{2}+B^{2}} \\ y_{2}=y_{1}-2B\dfrac{Ax_{1}+By_{1}+C}{A^{2}+B^{2}} \end{cases} \]
觀察到方程右邊形似點到直線距離公式，使用\(d^{2}=\dfrac{Ax_{1}+By_{1}+C}{A^{2}+B^{2}}\)替換
\[ \begin{cases} x_{2}=x_{1}-2Ad^{2} \\ y_{2}=y_{1}-2Bd^{2} \end{cases} \]
直線關於點對稱
設\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)關於點\(O(x_{0},y_{0})\)的對稱直線為\(l_{2}\)
設\(l_{2}\)上任意一點\(P(x_{1},y_{1})\)，\(P\)關於\(O\)點的對稱點為\(P'(2x_{0}-x_{1},2y_{0}-y_{1})\)
由於點\(P'\)應在\(l_{1}\)上，則有\(A_{1}(2x_{0}-x_{1})+B_{1}(2y_{0}-y_{1})+C_{1}=0\)
即\(l_{2}\)的方程為$$A_{1}x+B_{1}y-2A_{1}x_{0}-2B_{1}y_{0}-C_{1}=0$$
更一般地，對於任意曲線\(f(x,y)=0\)，經過上述對稱變換后的方程為\(f(2x_{0}-x,2y_{0}-y)=0\)
直線關於直線對稱
同理，應用點關於直線對稱公式，對於直線\(f(x,y)=0\)，關於直線\(l:Ax+By+C=0\)的對稱直線方程為$$f(x-2A d^{2} ,y-2B d^{2} )=0$$，其中\(d\)為點\((x,y)\)到直線\(l\)的距離
對於任意曲線同理