在三維圖形學中，幾何變換大致分為三種，平移變換（Translation），縮放變換（Scaling），旋轉變換（Rotation）。以下討論皆針對DirectX，所以使用左手坐標系。
平移變換
將三維空間中的一個點[x, y, z, 1]移動到另外一個點[x', y', z', 1]，三個坐標軸的移動分量分別為dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即
x' = x + Tx
y' = y + Ty
z' = z + Tz
平移變換的矩陣如下。
縮放變換
將模型放大或者縮小，本質也是對模型上每個頂點進行放大和縮小（頂點坐標值變大或變小），假設變換前的點是[x, y, z, 1]，變換后的點是[x', y', z', 1]，那么
x' = x * Sx
y' = y * Sy
z' = z * Sz
縮放變換的矩陣如下。
旋轉變換
這是三種變換中最復雜的變換，這里只討論最簡單的情況，繞坐標軸旋轉，關於繞任意軸旋轉，在后續的隨筆中介紹。
繞X軸旋轉
繞X軸旋轉時，頂點的x坐標不發生變化，y坐標和z坐標繞X軸旋轉θ度，旋轉的正方向為順時針方向（沿着旋轉軸負方向向原點看）。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x', y', z', 1]表示變換后的點。變換矩陣如下。
關於旋轉的正方向，OpenGL與多數圖形學書籍規定旋轉正方向為逆時針方向（沿着坐標軸負方向向原點看），比如Computer Graphics C Version，p409。
繞Y軸旋轉
繞Y軸旋轉時，頂點的y坐標不發生變化，x坐標和z坐標繞Y軸旋轉θ度。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x', y', z', 1]表示變換后的點。變換矩陣如下。
繞Z軸旋轉
繞Z軸旋轉時，頂點的z坐標不發生變化，x坐標和y坐標繞Z軸旋轉θ度。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x', y', z', 1]表示變換后的點。變換矩陣如下。
繞坐標軸旋轉的矩陣推導
上面三個旋轉矩陣是如何得來的呢？我們推導一下，首先看一下二維的情況，再擴展到三維即可。實際上上面三種繞坐標軸旋轉的情況屬於特殊的二維旋轉，比如繞Z軸旋轉，相當於在與XOY平面上繞原點做二維旋轉。
假設點P(x, y)是平面直角坐標系內一點，其到原點的距離為r，其與X軸的夾角為A，現將點P繞原點旋轉θ度，得到點P'(x', y')，P'與X軸的夾角為B，則A = B - θ。（注意，在二維坐標中，逆時針旋轉時角度為正，順時針旋轉時角度為負，下圖中由P旋轉到P'，角度為θ，若是由P'轉到P，則角度為-θ）。
於是可得下面的轉換方程
（式一）
寫成矩陣的形式就是
求得旋轉矩陣為
由於這里使用齊次坐標，所以還需加上一維，最終變成如下形式
繞Z軸旋轉矩陣
和前面給出的繞Z軸旋轉矩陣完全吻合。
對於繞X軸旋轉的情況，我們只需將式一中的x用y替換，y用z替換，z用x替換即可。替換后得到
(式二)
對應的旋轉矩陣為
繞X軸旋轉矩陣
對於繞Y軸旋轉的情況，只需對式二做一次同樣的替換即可，的到的變換方程為
對應的變換矩陣為
繞Y軸旋轉矩陣
逆矩陣
平移變換矩陣的逆矩陣與原來的平移量相同，但是方向相反。
旋轉變換矩陣的逆矩陣與原來的旋轉軸相同但是角度相反。
縮放變換的逆矩陣正好和原來的效果相反，如果原來是放大，則逆矩陣是縮小，如果原來是縮小，則逆矩陣是放大。
== Happy Coding ==