被迫营业
点关于点对称
设\(P(x_{1},y_{1})\)关于\(O(x_{0},y_{0})\)的对称点为\(P'(x_{2},y_{2})\)
根据中点坐标公式，有
\[ \begin{cases} \dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}=x_{0} \\ \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}=y_{0} \end{cases} \]
整理得
\[ \begin{cases} x_{2}=2x_{0}-x_{1} \\ y_{2}=2y_{0}-y_{1} \end{cases} \]
点关于直线对称
设\(P(x_{1},y_{1})\)关于\(l:Ax+By+C=0\)的对称点为\(P'(x_{2},y_{2})\)
由\(PP'\)中点在\(l\)上得
\[\begin{equation} A\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}+B\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}+C=0 \label{1} \end{equation}\]
由\(PP'\perp l\)得
\[\begin{equation} \dfrac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x{2}}(-\dfrac{B}{A})=-1 \label{2} \end{equation}\]
联立两式即得
\[ \begin{cases} x_{2}=x_{1}-2A\dfrac{Ax_{1}+By_{1}+C}{A^{2}+B^{2}} \\ y_{2}=y_{1}-2B\dfrac{Ax_{1}+By_{1}+C}{A^{2}+B^{2}} \end{cases} \]
观察到方程右边形似点到直线距离公式，使用\(d^{2}=\dfrac{Ax_{1}+By_{1}+C}{A^{2}+B^{2}}\)替换
\[ \begin{cases} x_{2}=x_{1}-2Ad^{2} \\ y_{2}=y_{1}-2Bd^{2} \end{cases} \]
直线关于点对称
设\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)关于点\(O(x_{0},y_{0})\)的对称直线为\(l_{2}\)
设\(l_{2}\)上任意一点\(P(x_{1},y_{1})\)，\(P\)关于\(O\)点的对称点为\(P'(2x_{0}-x_{1},2y_{0}-y_{1})\)
由于点\(P'\)应在\(l_{1}\)上，则有\(A_{1}(2x_{0}-x_{1})+B_{1}(2y_{0}-y_{1})+C_{1}=0\)
即\(l_{2}\)的方程为$$A_{1}x+B_{1}y-2A_{1}x_{0}-2B_{1}y_{0}-C_{1}=0$$
更一般地，对于任意曲线\(f(x,y)=0\)，经过上述对称变换后的方程为\(f(2x_{0}-x,2y_{0}-y)=0\)
直线关于直线对称
同理，应用点关于直线对称公式，对于直线\(f(x,y)=0\)，关于直线\(l:Ax+By+C=0\)的对称直线方程为$$f(x-2A d^{2} ,y-2B d^{2} )=0$$，其中\(d\)为点\((x,y)\)到直线\(l\)的距离
对于任意曲线同理