几何代数60 ----空间直角坐标变换

学习李建平教授几何代数的分享笔记。

1、空间直角坐标的平移

在空间中，平行移动空间直角坐标系，称为空间直角坐标系的\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{平移}}}\) ，简称 \(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{移轴}}}\) .

特点：

• 坐标轴的方向保持不变；

• 原点位置发生改变 .

\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的平移变换公式} }}\)

设新坐标 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\) 的坐标原点\(𝑂′\) 在旧坐标系$𝑂𝑥𝑦𝑧 $下的坐标为 \(𝑂′ (𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0)\) .

点 \(𝑀\)在旧坐标系 \(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐标为$ 𝑀 (𝑥, 𝑦,z)$ , 在新坐标系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)下的坐标为 \(𝑀 (𝑥′, 𝑦′,𝑧′) .\)

则

\[\large\overrightarrow{𝑂𝑂′} = 𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂M} = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂'M} = 𝑥’𝒊 + 𝑦'𝒋 + 𝑧'𝒌 , \]

故

\[\large\begin{aligned} \overrightarrow{𝑂M} &= \overrightarrow{𝑂𝑂′} + \overrightarrow{𝑂′𝑀} = 𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 + 𝑥′𝒊 + 𝑦′𝒋 + 𝑧′𝒌 ,\\ &=(𝑥′ + 𝑥_0) 𝒊 + (𝑦′ + 𝑦_0) 𝒋 + (𝑧′ + 𝑧_0) 𝒌 \end{aligned} \]

\(\large\color{magenta}移轴公式:\)

\[\begin{cases} x= 𝑥′ + 𝑥_0\\ y= y′ + y_0 \\𝑧 = 𝑧′ + 𝑧_0 . \end{cases} \]

代数表示：

\[\Rightarrow \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} \]

\(\large\color{magenta}移轴逆变换公式：\)

\[\begin{cases} 𝑥′ = x- 𝑥_0\\ y′= y- y_0 \\𝑧′ = 𝑧 − 𝑧_0 . \end{cases} \]

\[\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} \]

【注】 𝑂 在新坐标系 $𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′ $的坐标为 $(−𝑥_0, −𝑦_0, −𝑧_0) $.

例1

用移轴化简方程 $𝐶: 9𝑥^2 + 4𝑦^2 + 36𝑧^2 − 36𝑥 + 8 𝑦 + 4 = 0 $， 并画出它的图形 .

【解】 配方整理得\(9(x -2)^2＋4(y ＋1)^2+36z^2=36.\)

令\(\begin{cases} x= 𝑥′ + 2\\ y= y′ -1 \\𝑧 = 𝑧′ . \end{cases}\), 或者\(\begin{cases} 𝑥′ = x-2\\ y′= y+ 1 \\𝑧′ = 𝑧 . \end{cases}\)

得\(C:\frac{x'^2}{4}+\frac{y'^2}{9}+z'^2=1\)．它表示一个椭球面．

【注】移轴不改变曲面的形状.

2、空间直角坐标的旋转

在空间中，保持原点不动，将直角坐标系旋转 ，称为坐标系的\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{旋转变换}}}\) ，简称\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{转轴}}}\) .

特点：

• 坐标原点位置不变；

• 坐标轴方向发生改变（保持相互垂直和右手系）.

问题：转轴后，空间中的点的坐标如何改变？

\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的旋转变换公式} }}\)

设新坐标系 𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′ 下的基向量为 𝒊′,𝒋′, 𝒌′.

\[{\begin{cases} i′= cos ~\alpha _1 i + cos ~\beta_1 j + cos~ \gamma _1 k , \\ j′= cos ~\alpha _2 i + cos ~\beta _2 j + cos~ \gamma _2 k , \\ k′= cos ~\alpha _3 i + cos ~\beta _3 j + cos~ \gamma _3 k , \\ \end{cases}} \]

代数表示：

\[\Rightarrow \begin{pmatrix} 𝒊′\\ 𝒋′\\ 𝒌′ \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} &cos ~\alpha_1 &cos ~\beta_1 &cos~ \gamma_1 \\ &cos ~\alpha_2 &cos ~\beta_2 &cos~ \gamma_2 \\ &cos ~\alpha_3 &cos ~\beta_3 &cos~ \gamma_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} \large\begin{aligned} \bbox[lime]{行向量为单位正交向量} \end{aligned} \]

设新坐标 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\) 的坐标原点$ 𝑂′$ 在旧坐标系$ 𝑂𝑥𝑦𝑧 $下的坐标为 \(𝑂′ (𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0)\) .

点 $𝑀 $在旧坐标系 \(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐标为$ 𝑀 (𝑥, 𝑦,z)$ , 在新坐标系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)下的坐标为 $ 𝑀 (𝑥′, 𝑦′,𝑧′) .$

\(\large\overrightarrow{𝑂M} = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 ,\overrightarrow{𝑂'M} = 𝑥’𝒊 ’+ 𝑦’𝒋’ + 𝑧’𝒌’\)

故

\[\begin{aligned} \overrightarrow{𝑂M}& =(x,y,z)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} =(x',y',z')\begin{pmatrix} 𝒊'\\ 𝒋'\\ 𝒌' \end{pmatrix} \\ &=(x',y',z') \begin{bmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ &cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

\[(x,y,z) =(x',y',z') \begin{bmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ &cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix} \]

转置$\Huge\color{magenta}\Rightarrow $

\[\bbox[pink]{\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛼_3 \\ &cos ~𝛽_1 &cos ~𝛽_2 &cos ~𝛽_3 \\ & cos~ 𝛾_1 & cos~ 𝛾_2 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} &r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ &r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ &r_{31} &r_{32} &r_{33} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} } \]

其中，列向量为单位正交向量

\[r_{1j}^2 + r_{2j}^2+ r_{3j}^2= 1 , r_{1i}r_{1j} +r_{2i} r_{2j}+ r_{3i}r_{3j}= 0, 𝑖,𝑗 = 1,2,3; 𝑗 ≠ 𝑖 . \]

\(\large\color{magenta}转轴公式：\)

\[\bbox[pink]{\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} &r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ &r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ &r_{31} &r_{32} &r_{33} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} } \]

\[R=\begin{bmatrix} &r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ &r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ &r_{31} &r_{32} &r_{33} \end{bmatrix}\color{magenta} ——转轴矩阵 \]

性质

• (1)矩阵\(R\)的列向量是单位正交向量，即\(R\)是正交矩阵．
• (2)\(RR^T =I\) .
• (3)\(R^{-1} = R^T\).
• (4)\(|R|=1\).

$\large\color{orange}{转轴矩阵的行列式为1 } $

因为\({\begin{cases} 𝒊′= cos ~𝛼_1 𝒊 + cos ~𝛽_1 𝒋 + cos~ 𝛾_1 𝒌 , \\ 𝒋′= cos ~𝛼_2 𝒊 + cos ~𝛽_2 𝒋 + cos~ 𝛾_2 𝒌 , \\ 𝒌′= cos ~𝛼_3 𝒊 + cos ~𝛽_3 𝒋 + cos~ 𝛾_3 𝒌 , \\ \end{cases}}\)

$ |R^T|=\begin{vmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \
&cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \
&cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{vmatrix} = (𝒊′𝒋′𝒌′) = 1 ,$

所以 \(|R|=1\).

【注】（1）转轴矩阵是行列式为1的正交矩阵

（2）正交矩阵未必为转轴矩阵

\(\large\color{magenta}转轴逆变换公式：\)

\[\bbox[pink]{\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} &r_{11} & r_{21} &r_{31} \\ &r_{12} &r_{22} & r_{32} \\ & r_{13} &r_{23} &r_{33} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} } \]

\[转轴公式： 𝒙 = 𝑅 𝒙′\\ 𝑅^T 𝒙 = 𝑅^T𝑅𝒙′ = 𝒙′.\\ 转轴逆变换公式： 𝒙′ = 𝑅^T 𝒙.\\ \]

\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的一般变换} }}\)

从几何上容易理解，移轴和转轴都不改变二次曲面的图形

设新坐标 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\) 的坐标原点$ 𝑂′$ 在旧坐标系$ 𝑂𝑥𝑦𝑧 $下的坐标为 \(𝑂′ (𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0)\) .

点 $𝑀 $在旧坐标系 \(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐标为$ 𝑀 (𝑥, 𝑦,z)$ , 在新坐标系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)下的坐标为 $ 𝑀 (𝑥′, 𝑦′,𝑧′) .$

\(\large\overrightarrow{𝑂O'} = 𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂M} = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂'M} = 𝑥’𝒊 ’+ 𝑦’𝒋’ + 𝑧’𝒌’\)

$\Huge\color{magenta}\Rightarrow $ $ \overrightarrow{𝑂M}=\overrightarrow{𝑂O'} +\overrightarrow{𝑂'M}=𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 + 𝑥’𝒊 ’+ 𝑦’𝒋’ + 𝑧’𝒌’$

由\({\begin{cases} 𝒊′= cos ~𝛼_1 𝒊 + cos ~𝛽_1 𝒋 + cos~ 𝛾_1 𝒌 , \\ 𝒋′= cos ~𝛼_2 𝒊 + cos ~𝛽_2 𝒋 + cos~ 𝛾_2 𝒌 , \\ 𝒌′= cos ~𝛼_3 𝒊 + cos ~𝛽_3 𝒋 + cos~ 𝛾_3 𝒌 , \\ \end{cases}}\) 知，

\[\begin{aligned} \overrightarrow{𝑂M}& =(x,y,z)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} =(x_0,y_0,z_0)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix}+(x',y',z')\begin{pmatrix} 𝒊'\\ 𝒋'\\ 𝒌' \end{pmatrix} \\ &=(x_0,y_0,z_0)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix}+(x',y',z') \begin{bmatrix} cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} \end{aligned} \]

\(\large\color{magenta}空间直角坐标的一般变换公式\)

\[{\begin{cases} x= x'~ cos ~𝛼_1 + y'~cos ~𝛼_2 + z'~cos ~𝛼_3 +x_0, \\ y= x'~cos ~𝛽_1 +y'~cos ~𝛽_2 + z'~cos ~𝛽_3 +y_0, \\ z = x'~cos~ 𝛾_1 + y'~cos~ 𝛾_2 + z'~cos~ 𝛾_3 +z_0. \\ \end{cases}} \]

【注】先移轴再转轴，还是先转轴再移轴，一般变换公式最终形式都一样 .

\(\large\color{magenta}空间直角坐标的一般变换的逆变换公式\)

\[{\begin{cases} x′= (x-x_0)cos ~𝛼_1 + (y-y_0)cos ~𝛽_1 + (z-z_0)cos~ 𝛾_1 , \\ y′=(x-x_0) cos ~𝛼_2 +(y-y_0) cos ~𝛽_2 + (z-z_0)cos~ 𝛾_2 , \\ z′= (x-x_0)cos ~𝛼_3 + (y-y_0) cos ~𝛽_3 +(z-z_0) cos~ 𝛾_3 , \\ \end{cases}} \]

3、空间直角坐标的伸缩

称变换\(\begin{cases} x= a𝑥′ \\ y= by′ \\𝑧 =c 𝑧′ . \end{cases}\)为空间直角坐标系的伸缩（其中 𝑎𝑏𝑐 ≠ 0）.

即 \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} a & 0 &0 \\ 0 &b & 0 \\ 0 &0 &c \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}\)

【注】伸缩改变二次曲面的形状，但不改变其类型 .

\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空间直角坐标的伸缩} }}\)

利用空间直角坐标系的\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{伸缩变换}}}\) ，将常见二次曲面方程化为最简方程,便于理解这些方程和图形的特点．

例如，椭球面\(\large S:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,(𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0)\) 在伸缩变换\(\begin{cases} x= a𝑥′ \\ y= by′ \\𝑧 =c 𝑧′ . \end{cases}\) 下，变成最简形式\(𝑆′: 𝑥′^2 + 𝑦′^2 + 𝑧′^2 = 1\)，它是一个单位球面

这样，我们就可以把椭球面看作是单位球面的一个伸缩

参考资料

[1] 宋卫东 . 《解析几何》，高等教育出版社.

[2] 丘维声编. 《解析几何》. 北京大学出版社.

[2] 吕林根，许子道等编. 《解析几何》. 高等教育出版社.

[3] 吕林根. 《解析几何学习辅导书》. 高等教育出版社.

[4] 谢敬然，柯媛元. 空间解析几何，高等教育出版社

[5] 周建伟 解析几何，高等教育出版社