幾何代數60 ----空間直角坐標變換
學習李建平教授幾何代數的分享筆記。
1、空間直角坐標的平移
在空間中，平行移動空間直角坐標系，稱為空間直角坐標系的\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{平移}}}\) ，簡稱 \(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{移軸}}}\) .
特點：
\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空間直角坐標的平移變換公式} }}\)
設新坐標 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\) 的坐標原點\(𝑂′\) 在舊坐標系$𝑂𝑥𝑦𝑧 $下的坐標為 \(𝑂′ (𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0)\) .
點 \(𝑀\)在舊坐標系 \(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐標為$ 𝑀 (𝑥, 𝑦,z)$ , 在新坐標系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)下的坐標為 \(𝑀 (𝑥′, 𝑦′,𝑧′) .\)
則
\[\large\overrightarrow{𝑂𝑂′} = 𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂M} = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂'M} = 𝑥’𝒊 + 𝑦'𝒋 + 𝑧'𝒌 , \]
故
\[\large\begin{aligned} \overrightarrow{𝑂M} &= \overrightarrow{𝑂𝑂′} + \overrightarrow{𝑂′𝑀} = 𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 + 𝑥′𝒊 + 𝑦′𝒋 + 𝑧′𝒌 ,\\ &=(𝑥′ + 𝑥_0) 𝒊 + (𝑦′ + 𝑦_0) 𝒋 + (𝑧′ + 𝑧_0) 𝒌 \end{aligned} \]
\(\large\color{magenta}移軸公式:\)
\[\begin{cases} x= 𝑥′ + 𝑥_0\\ y= y′ + y_0 \\𝑧 = 𝑧′ + 𝑧_0 . \end{cases} \]
代數表示：
\[\Rightarrow \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} \]
\(\large\color{magenta}移軸逆變換公式：\)
\[\begin{cases} 𝑥′ = x- 𝑥_0\\ y′= y- y_0 \\𝑧′ = 𝑧 − 𝑧_0 . \end{cases} \]
\[\Rightarrow \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} x_0\\ y_0\\ z_0 \end{pmatrix} \]
【注】 𝑂 在新坐標系 $𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′ $的坐標為 $(−𝑥_0, −𝑦_0, −𝑧_0) $.
例1
用移軸化簡方程 $𝐶: 9𝑥^2 + 4𝑦^2 + 36𝑧^2 − 36𝑥 + 8 𝑦 + 4 = 0 $， 並畫出它的圖形 .
【解】 配方整理得\(9(x -2)^2＋4(y ＋1)^2+36z^2=36.\)
令\(\begin{cases} x= 𝑥′ + 2\\ y= y′ -1 \\𝑧 = 𝑧′ . \end{cases}\), 或者\(\begin{cases} 𝑥′ = x-2\\ y′= y+ 1 \\𝑧′ = 𝑧 . \end{cases}\)
得\(C:\frac{x'^2}{4}+\frac{y'^2}{9}+z'^2=1\)．它表示一個橢球面．
【注】移軸不改變曲面的形狀.
2、空間直角坐標的旋轉
在空間中，保持原點不動，將直角坐標系旋轉 ，稱為坐標系的\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{旋轉變換}}}\) ，簡稱\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{轉軸}}}\) .
特點：
-
坐標原點位置不變；
-
坐標軸方向發生改變（保持相互垂直和右手系）.
問題：轉軸后，空間中的點的坐標如何改變？
\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空間直角坐標的旋轉變換公式} }}\)
設新坐標系 𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′ 下的基向量為 𝒊′,𝒋′, 𝒌′.
\[{\begin{cases} i′= cos ~\alpha _1 i + cos ~\beta_1 j + cos~ \gamma _1 k , \\ j′= cos ~\alpha _2 i + cos ~\beta _2 j + cos~ \gamma _2 k , \\ k′= cos ~\alpha _3 i + cos ~\beta _3 j + cos~ \gamma _3 k , \\ \end{cases}} \]
代數表示：
\[\Rightarrow \begin{pmatrix} 𝒊′\\ 𝒋′\\ 𝒌′ \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} &cos ~\alpha_1 &cos ~\beta_1 &cos~ \gamma_1 \\ &cos ~\alpha_2 &cos ~\beta_2 &cos~ \gamma_2 \\ &cos ~\alpha_3 &cos ~\beta_3 &cos~ \gamma_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} \large\begin{aligned} \bbox[lime]{行向量為單位正交向量} \end{aligned} \]
設新坐標 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\) 的坐標原點$ 𝑂′$ 在舊坐標系$ 𝑂𝑥𝑦𝑧 $下的坐標為 \(𝑂′ (𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0)\) .
點 $𝑀 $在舊坐標系 \(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐標為$ 𝑀 (𝑥, 𝑦,z)$ , 在新坐標系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)下的坐標為 $ 𝑀 (𝑥′, 𝑦′,𝑧′) .$
\(\large\overrightarrow{𝑂M} = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 ,\overrightarrow{𝑂'M} = 𝑥’𝒊 ’+ 𝑦’𝒋’ + 𝑧’𝒌’\)
故
\[\begin{aligned} \overrightarrow{𝑂M}& =(x,y,z)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} =(x',y',z')\begin{pmatrix} 𝒊'\\ 𝒋'\\ 𝒌' \end{pmatrix} \\ &=(x',y',z') \begin{bmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ &cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} \end{aligned} \]
\[(x,y,z) =(x',y',z') \begin{bmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ &cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix} \]
轉置$\Huge\color{magenta}\Rightarrow $
\[\bbox[pink]{\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛼_2 &cos ~𝛼_3 \\ &cos ~𝛽_1 &cos ~𝛽_2 &cos ~𝛽_3 \\ & cos~ 𝛾_1 & cos~ 𝛾_2 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} &r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ &r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ &r_{31} &r_{32} &r_{33} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} } \]
其中，列向量為單位正交向量
\[r_{1j}^2 + r_{2j}^2+ r_{3j}^2= 1 , r_{1i}r_{1j} +r_{2i} r_{2j}+ r_{3i}r_{3j}= 0, 𝑖,𝑗 = 1,2,3; 𝑗 ≠ 𝑖 . \]
\(\large\color{magenta}轉軸公式：\)
\[\bbox[pink]{\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{bmatrix} &r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ &r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ &r_{31} &r_{32} &r_{33} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} } \]
\[R=\begin{bmatrix} &r_{11} &r_{12} &r_{13} \\ &r_{21} &r_{22} &r_{23} \\ &r_{31} &r_{32} &r_{33} \end{bmatrix}\color{magenta} ——轉軸矩陣 \]
性質
- (1)矩陣\(R\)的列向量是單位正交向量，即\(R\)是正交矩陣．
- (2)\(RR^T =I\) .
- (3)\(R^{-1} = R^T\).
- (4)\(|R|=1\).
$\large\color{orange}{轉軸矩陣的行列式為1 } $
因為\({\begin{cases} 𝒊′= cos ~𝛼_1 𝒊 + cos ~𝛽_1 𝒋 + cos~ 𝛾_1 𝒌 , \\ 𝒋′= cos ~𝛼_2 𝒊 + cos ~𝛽_2 𝒋 + cos~ 𝛾_2 𝒌 , \\ 𝒌′= cos ~𝛼_3 𝒊 + cos ~𝛽_3 𝒋 + cos~ 𝛾_3 𝒌 , \\ \end{cases}}\)
$ |R^T|=\begin{vmatrix} &cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \
&cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \
&cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{vmatrix} = (𝒊′𝒋′𝒌′) = 1 ,$
所以 \(|R|=1\).
【注】（1）轉軸矩陣是行列式為1的正交矩陣
（2）正交矩陣未必為轉軸矩陣
\(\large\color{magenta}轉軸逆變換公式：\)
\[\bbox[pink]{\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} &r_{11} & r_{21} &r_{31} \\ &r_{12} &r_{22} & r_{32} \\ & r_{13} &r_{23} &r_{33} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} } \]
\[轉軸公式： 𝒙 = 𝑅 𝒙′\\ 𝑅^T 𝒙 = 𝑅^T𝑅𝒙′ = 𝒙′.\\ 轉軸逆變換公式： 𝒙′ = 𝑅^T 𝒙.\\ \]
\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空間直角坐標的一般變換} }}\)
從幾何上容易理解，移軸和轉軸都不改變二次曲面的圖形
設新坐標 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\) 的坐標原點$ 𝑂′$ 在舊坐標系$ 𝑂𝑥𝑦𝑧 $下的坐標為 \(𝑂′ (𝑥_0, 𝑦_0, 𝑧_0)\) .
點 $𝑀 $在舊坐標系 \(𝑂𝑥𝑦𝑧\)下的坐標為$ 𝑀 (𝑥, 𝑦,z)$ , 在新坐標系 \(𝑂′𝑥′𝑦′𝑧′\)下的坐標為 $ 𝑀 (𝑥′, 𝑦′,𝑧′) .$
\(\large\overrightarrow{𝑂O'} = 𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂M} = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌 ,~~~ \overrightarrow{𝑂'M} = 𝑥’𝒊 ’+ 𝑦’𝒋’ + 𝑧’𝒌’\)
$\Huge\color{magenta}\Rightarrow $ $ \overrightarrow{𝑂M}=\overrightarrow{𝑂O'} +\overrightarrow{𝑂'M}=𝑥_0𝒊 + 𝑦_0𝒋 + 𝑧_0𝒌 + 𝑥’𝒊 ’+ 𝑦’𝒋’ + 𝑧’𝒌’$
由\({\begin{cases} 𝒊′= cos ~𝛼_1 𝒊 + cos ~𝛽_1 𝒋 + cos~ 𝛾_1 𝒌 , \\ 𝒋′= cos ~𝛼_2 𝒊 + cos ~𝛽_2 𝒋 + cos~ 𝛾_2 𝒌 , \\ 𝒌′= cos ~𝛼_3 𝒊 + cos ~𝛽_3 𝒋 + cos~ 𝛾_3 𝒌 , \\ \end{cases}}\) 知，
\[\begin{aligned} \overrightarrow{𝑂M}& =(x,y,z)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} =(x_0,y_0,z_0)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix}+(x',y',z')\begin{pmatrix} 𝒊'\\ 𝒋'\\ 𝒌' \end{pmatrix} \\ &=(x_0,y_0,z_0)\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix}+(x',y',z') \begin{bmatrix} cos ~𝛼_1 &cos ~𝛽_1 &cos~ 𝛾_1 \\ cos ~𝛼_2 &cos ~𝛽_2 &cos~ 𝛾_2 \\ cos ~𝛼_3 &cos ~𝛽_3 &cos~ 𝛾_3 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} 𝒊\\ 𝒋\\ 𝒌 \end{pmatrix} \end{aligned} \]
\(\large\color{magenta}空間直角坐標的一般變換公式\)
\[{\begin{cases} x= x'~ cos ~𝛼_1 + y'~cos ~𝛼_2 + z'~cos ~𝛼_3 +x_0, \\ y= x'~cos ~𝛽_1 +y'~cos ~𝛽_2 + z'~cos ~𝛽_3 +y_0, \\ z = x'~cos~ 𝛾_1 + y'~cos~ 𝛾_2 + z'~cos~ 𝛾_3 +z_0. \\ \end{cases}} \]
【注】先移軸再轉軸，還是先轉軸再移軸，一般變換公式最終形式都一樣 .
\(\large\color{magenta}空間直角坐標的一般變換的逆變換公式\)
\[{\begin{cases} x′= (x-x_0)cos ~𝛼_1 + (y-y_0)cos ~𝛽_1 + (z-z_0)cos~ 𝛾_1 , \\ y′=(x-x_0) cos ~𝛼_2 +(y-y_0) cos ~𝛽_2 + (z-z_0)cos~ 𝛾_2 , \\ z′= (x-x_0)cos ~𝛼_3 + (y-y_0) cos ~𝛽_3 +(z-z_0) cos~ 𝛾_3 , \\ \end{cases}} \]
3、空間直角坐標的伸縮
稱變換\(\begin{cases} x= a𝑥′ \\ y= by′ \\𝑧 =c 𝑧′ . \end{cases}\)為空間直角坐標系的伸縮（其中 𝑎𝑏𝑐 ≠ 0）.
即 \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} a & 0 &0 \\ 0 &b & 0 \\ 0 &0 &c \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}\)
【注】伸縮改變二次曲面的形狀，但不改變其類型 .
\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{brown}{空間直角坐標的伸縮} }}\)
利用空間直角坐標系的\(\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{伸縮變換}}}\) ，將常見二次曲面方程化為最簡方程,便於理解這些方程和圖形的特點．
例如，橢球面\(\large S:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,(𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0)\) 在伸縮變換\(\begin{cases} x= a𝑥′ \\ y= by′ \\𝑧 =c 𝑧′ . \end{cases}\) 下，變成最簡形式\(𝑆′: 𝑥′^2 + 𝑦′^2 + 𝑧′^2 = 1\)，它是一個單位球面
這樣，我們就可以把橢球面看作是單位球面的一個伸縮
參考資料
[1] 宋衛東 . 《解析幾何》，高等教育出版社.
[2] 丘維聲編. 《解析幾何》. 北京大學出版社.
[2] 呂林根，許子道等編. 《解析幾何》. 高等教育出版社.
[3] 呂林根. 《解析幾何學習輔導書》. 高等教育出版社.
[4] 謝敬然，柯媛元. 空間解析幾何，高等教育出版社
[5] 周建偉 解析幾何，高等教育出版社
