大地經緯度坐標轉高斯平面直角坐標系

不久前，GPS設備出現了故障，輸出的數據里，平面直角坐標系的Y坐標會出現丟失的問題，而且唯獨只有Y坐標有這個問題，其他數據均正常輸出，接收機設置的那位師兄已經畢業，需要自行解決。嘗試將GPS輸出的經度L和緯度B直接進行高斯投影得到XY坐標，以解決這個問題。

較為啰嗦的理論部分就不碼字了，以下為部分基礎知識

1 高斯投影的分帶

1.1 分帶原因

因為高斯投影是一種等角橫切橢圓柱投影，由於在同一條緯線上，離中央經線越遠，變形越大，最大值位於投影帶的邊緣，所以為了控制投影變形不致過大，保證地圖精度，高斯投影采用分帶投影方法，即將投影范圍的東西界加以限制，使其變形不超過一定的限度。這是高斯投影中限制長度變形最有效的方法。

1.2 分帶的方法

分帶分為6°帶和3°帶。

對於6°帶，經差為6度，從零度子午線開始，自西向東每隔6度為一個投影帶，全球共分60個帶，用1，2，3，4，5，......表示。即東經0~6度為第一度帶，其中央經線的經度為東經3度；東經6~12度為第二帶，其中央經線的經度為東經9度。

設帶號為n，中央子午線經度為L_0，則有：

L₀=6°n-3°；

n=(L₀+3°)/6；

已知某地的大地經度L可得帶號 n = L/6的整數商+1(如果有余數)。

對於3°帶，即經差為3度，從東經1.5度開始，自西向東每隔3度為一個投影帶，全球共分120個帶，用1，2，3，4，5，......表示。即東經1.5~4.5度為第一度帶，其中央經線的經度為東經3度；東經4.5~7.5度為第二帶，其中央經線的經度為東經6度；東經7.5~10.5度為第三帶，其中央經線的經度為東經9度。（這樣分帶的方法使6度帶的中央經線均為3度帶的中央經線。）設帶號為n'，中央子午線經度為L₀，則有：

L₀=3°n'；

n'=L₀/3；

已知某地的大地經度L可得帶號 n‘ = (L-1.5)/3的整數商+1。

 

2 自然坐標與假定坐標

我國處於北半球，高斯投影的計算中，x值恆為正值，而y值有正有負，因此由高斯投影直接得到的坐標叫自然坐標，為了避免出現負的y值，規定將y值加上500km，相當於x軸向西平移了500km，得到的坐標為假定坐標（通用坐標）

 

 

 3 參考橢球

地球橢球中常用的集合參數如下：

①長半軸 a，②短半軸 b，③極化半徑 c=a²/b，④扁率 f=（a-b)/a，⑤第一偏心率 e=√(a²-b²)/a ⑥第二偏心率 e'=√(a²-b²)/b

常見的橢球有北京54，西安80和大地2000等等，以下提供大地2000的橢球數據：

a = 6378137m；

b = 6356752.31414m；

c = 6399593.62586m；

f = 1/298.257222101；

e² = 0.00669438002290；

e'² = 0.00673949677548；

4 卯酉曲率半徑

具體概念不介紹，后續公式有用到這個值

卯酉曲率半徑 N =a/(√(1-e²sin²B)；（B為大地緯度）

5 子午線弧長

同樣具體概念及推導過程不再詳寫。

m₀=a*(1-e²)；
m₂=3/2*e²*m_0；
m₄=5/4*e²*m_2；
m₆=7/6*e²*m_4；
m₈=9/8*e²*m_6；
a₀=m₀+1/2*m₂+3/8*m₄+5/16*m₆+35/128*m_8；
a₂=1/2*m₂+1/2*m₄+15/32*m₆+7/16*m_8；
a₄=1/8*m₄+3/16*m₆+7/32*m_8；
a₆=1/32*m₆+1/16*m_8；
a₈=1/128*m_8；
子午線弧長X = a₀*B-1/2*a₂*sin(2*B)+1/4*a₄*sin(4*B)-1/6*a₆*sin(6*B)+1/8*a₈*sin(8*B)；

6 高斯投影正算公式

即由經緯度得到xy坐標的公式，這個公式有挺多版本的，以下摘抄一種實用的，較為簡潔的公式（精度為0.001米，經緯度單位均為弧度）：

經度差l = L-L₀ （L為當前經度，L₀為中央子午線經度）；

令 η = e'cosB , t = tanB , m = cosB*l；

 

x = X + N*t *[1/2*m²+1/24*(5-t²+9*η²+4*η⁴)*m⁴+1/720(61-58*t²+t⁴)*m⁶]；

y = N*[m+1/6*(1-t²+η²)*m³+1/120*(5-18*t²+t⁴+14*η²-58*η^2*t²)*m⁵]；

輸完公式之后可以嘗試使用一下算例檢查公式正確與否：

7 結尾

如果轉換完成之后發現對應的距離不對，可以嘗試檢查一下GPS輸出的經緯度的單位格式，比如我的設備輸出緯度為23.116589，並不是指的23.116589°，而是指的23°11.6589’，之前一直沒有發現這個錯誤，以至於轉換完的距離跟實際距離比例差異非常大。本人機械專業，無相關專業知識，僅僅為了解決相關問題查閱了相關的書籍，如有紕漏，懇請各位讀者指出，謝謝！本文參考呂志平主編的《大地測量學基礎》第二版。